【矩阵乘法】 P1962 斐波那契数列

andyc_03

于 2020-07-20 16:17:44 发布

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分类专栏：算法矩阵乘法文章标签：算法

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本文介绍了一种利用矩阵快速幂算法高效计算斐波那契数列的方法。通过将斐波那契数列转换为矩阵形式，并使用快速幂进行计算，可以显著提高计算效率，特别是对于大数值的斐波那契数。文章提供了详细的算法实现代码，包括矩阵乘法和矩阵快速幂函数。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

由于斐波那契数列的性质，我们知道f[i]=f[i-1]+f[i-2]

这里按照矩阵的形式写[f[i],f[i+1]] $\begin{bmatrix} 0&1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$ =[f[i+1],f[i+2]]

所以，想要快速推出f[n]，那就可以把 $\begin{bmatrix} 0&1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}$ ，平方n-1次，输出右下角的数字

这里计算 $\begin{bmatrix} 0&1 \\ 0 &1 \end{bmatrix}^{n-1}$ 用到了快速幂

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n;
const int mod=1e9+7;
struct juzhen
{
	unsigned long long a[3][3];
}temp,ans,fore;
juzhen mul(juzhen x ,juzhen y)
{
	juzhen cnt;
	for(int i=1;i<=2;i++)
		for(int j=1;j<=2;j++)
		{
			unsigned long long ans=0;
			for(int k=1;k<=2;k++)
			{
				ans+=(x.a[i][k]*y.a[k][j])%mod;
				ans%=mod;
			}
			cnt.a[i][j]=ans;
		}
	return cnt;
}
juzhen pow(long long x)
{
	if(x==0)
	{
		temp.a[1][1]=1;
		temp.a[1][2]=0;
		temp.a[2][1]=0;
		temp.a[2][2]=1;
		return temp;
	}
	if(x==1)
	{
		return fore;
	}
	
	if(x%2==1)
	{
		juzhen xa=pow((x-1)/2);
		return mul(mul(xa,xa),fore);
	}
	else
	{
		juzhen xa=pow(x/2);
		return mul(xa,xa);
	}
} 
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	fore.a[1][1]=0; fore.a[1][2]=fore.a[2][1]=fore.a[2][2]=1;
	ans=pow(n-1);
	printf("%lld\n",ans.a[2][2]);
	return 0;
}