85、高斯过程回归：原理与应用

高斯过程回归：原理与应用

1. 引言

在回归问题中，我们常常需要处理观测目标值中的噪声。高斯过程模型为解决这类问题提供了一种有效的方法。本文将详细介绍高斯过程回归的原理、相关公式推导以及实际应用中的一些要点。

2. 高斯过程回归的基本概念

在将高斯过程模型应用于回归问题时，我们需要考虑观测目标值上的噪声。观测目标值 $t_n$ 可以表示为：
[t_n = y_n + \epsilon_n]
其中，$y_n = y(x_n)$，$\epsilon_n$ 是一个随机噪声变量，其值针对每个观测 $n$ 独立选取。这里我们假设噪声过程服从高斯分布，即：
[p(t_n|y_n) = N(t_n|y_n, \beta^{-1})]
其中，$\beta$ 是一个超参数，表示噪声的精度。

由于每个数据点的噪声是独立的，目标值 $t = (t_1, \ldots, t_N)^T$ 在给定 $y = (y_1, \ldots, y_N)^T$ 条件下的联合分布是一个各向同性的高斯分布，形式为：
[p(t |y ) = N(t |y , \beta^{-1}I_N)]
其中，$I_N$ 表示 $N \times N$ 的单位矩阵。

从高斯过程的定义可知，$y$ 的边缘分布 $p(y)$ 是一个均值为零、协方差由 Gram 矩阵 $K$ 定义的高斯分布，即：
[p(y ) = N(y |0, K)]

3. 核函数的选择

核函数 $k(x_n, x_m)$ 用于确定协方差矩阵 $K$，通常选择它来表达这样的性质：对于相似的点 $x_n$ 和 $x_m