42、证据近似方法在回归模型中的应用与分析

证据近似方法在回归模型中的应用与分析

1. 贝叶斯方法的假设与证据问题

在模式识别领域，贝叶斯方法和其他方法一样，需要对模型的形式做出假设。若这些假设不成立，结果可能会产生误导。具体而言，模型证据对先验的许多方面都很敏感，例如先验尾部的行为。

1.1 不恰当先验的影响

如果先验是不恰当的，证据就无法被定义。因为不恰当先验具有任意的缩放因子，即其分布无法归一化，所以归一化系数也就无法定义。当我们考虑一个恰当的先验，然后通过取合适的极限得到一个不恰当先验（例如，对高斯先验取方差趋于无穷大的极限），从相关公式（3.70）和图3.12可以看出，证据会趋近于零。不过，我们可以先考虑两个模型之间的证据比，然后再取极限，这样或许能得到有意义的结果。

1.2 实际应用中的建议

在实际应用中，保留一份独立的测试数据集来评估最终系统的整体性能是明智之举。这样可以避免因先验假设不合理而导致的结果偏差，更准确地评估模型的性能。

2. 证据近似方法概述

2.1 全贝叶斯处理的困境

在对线性基函数模型进行全贝叶斯处理时，我们会引入关于超参数α和β的先验分布，并通过对这些超参数以及参数w进行边缘化来进行预测。然而，尽管我们可以对w或超参数进行解析积分，但对所有这些变量进行完全的边缘化在解析上是难以处理的。

2.2 证据近似方法的定义

这里我们讨论一种近似方法，即通过最大化先对参数w进行积分得到的边缘似然函数，来确定超参数的具体值。这种框架在统计学文献中被称为经验贝叶斯（Empirical Bayes）、类型2最大似然（Type 2 Maximum Li