41、贝叶斯模型比较：原理、方法与优势

贝叶斯模型比较：原理、方法与优势

1. 核函数相关性质

核函数是机器学习中的重要概念，它具有一些特殊性质。核函数的值可以为正也可以为负，虽然它满足求和约束，但对应的预测不一定是训练集目标变量的凸组合。此外，等价核函数满足一个重要性质，即可以表示为关于非线性函数向量 $\psi(x)$ 的内积形式：
[k(x, z) = \psi(x)^T\psi(z)]
其中，(\psi(x) = \beta^{1/2}S_N^{1/2}\varphi(x))。

2. 传统模型选择问题与贝叶斯视角

在模型选择中，过拟合是一个常见问题。传统方法中，交叉验证被用于设置正则化参数的值或在不同模型之间进行选择。然而，从贝叶斯的角度来看，我们可以通过对模型参数进行边缘化（求和或积分）来避免与最大似然相关的过拟合问题，而不是对参数值进行点估计。

2.1 贝叶斯模型比较的优势

• 充分利用数据 ：可以直接在训练数据上比较模型，无需验证集，从而使所有可用数据都能用于训练。
• 避免多次训练 ：避免了与交叉验证相关的每个模型的多次训练运行。
• 同时确定多个参数 ：允许在训练过程中同时确定多个复杂度参数。例如，相关向量机是一种贝叶斯模型，每个训练数据点都有一个复杂度参数。

3. 贝叶斯模型比较的基本原理

3.1 模型与概率分布

假设我们要比较一组 $L$ 个模型 ${M_i}$，其中 $i = 1, \l