7、概率理论与贝叶斯视角下的不确定性量化

概率理论与贝叶斯视角下的不确定性量化

1. 概率基础

在概率的世界里，我们首先要了解一些基本概念。对于一个连续变量 (x)，它落在包含点 (x) 的无穷小体积 (\delta x) 内的概率可以表示为 (p(x)\delta x)。这里的多元概率密度 (p(x)) 需满足两个重要条件：
- (p(x) \geq 0)，这保证了概率的非负性。
- (\int p(x) dx = 1)，即对整个 (x) 空间积分结果为 1，意味着所有可能事件的概率总和为 1。

若 (x) 是离散变量，(p(x)) 有时被称为概率质量函数，可看作是集中在 (x) 允许取值上的“概率质量”集合。

概率的求和与乘积规则以及贝叶斯定理，同样适用于概率密度的情况，或者离散与连续变量的组合。例如，对于两个实变量 (x) 和 (y)，求和规则为 (p(x) = \int p(x, y) dy)，乘积规则为 (p(x, y) = p(y|x)p(x))。对于连续变量求和与乘积规则的严格证明需要测度论知识，不过我们可以通过将每个实变量划分为宽度为 (\Delta) 的区间，考虑这些区间上的离散概率分布，再取极限 (\Delta \to 0)，将求和转换为积分，从而直观地理解其有效性。

下面用一个简单的表格总结上述重要公式：
| 规则类型 | 公式 |
| ---- | ---- |
| 多元概率密度条件 | (p(x) \geq 0)，(\int p(x) dx = 1) |
| 求和规则 | (p(x) = \int p(x, y) dy) |
| 乘积规则 | (p(x, y) = p(y|x)p(x)) |

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