两轮自平衡小车的LQR控制设计(1): 系统建模和LQR控制器设计

1.引言和实现效果

两轮自平衡小车是常见的轮式移动机器人，如果假设它的车身和车轮都为刚体且不受外界干扰，忽略摩擦，轮子与地面运动满足纯滚动条件，则可以简化为一个具有双轮的倒立摆系统，如下图所示。

本文首先根据牛顿第二定律推导平衡小车的动力学模型，然后建立线性二次型最优控制器（LQR），实现平衡小车的自平衡控制，效果如下：

2.平衡小车数学模型

平衡小车系统建模参考：Ooi R C . Balancing a Two-Wheeled Autonomous Robot[J]. university of western australia, 2003.

2.1 直流电机模型

设直流电机的电阻为$R$，电感为$L$，简化模型如下：

电机产生的总扭矩(不是输出扭矩)可以简化表示为电流的线性函数，即
$${\tau }_m=k_{m}i\text{\hspace{1em}(2.1)}$$
$k_m$为电机的力矩常数。电机的感应电动势可以简化为转速的线性函数，即
$$V_{en}=k_{e}w\text{\hspace{1em}(2.2)}$$
$k_e$为电机的感应电动势常数。根据基尔霍夫电压定律有
$$V_a-Ri-k_{e}w-L\frac{di}{dt}=0\text{\hspace{1em}(2.3)}$$
因为平衡小车的直流电机电感很小，可以近似为0，则有
$$i=\frac{V_a}{R}-\frac{k_{e}w}{R}\text{\hspace{1em}(2.4)}$$
设感应电动势产生的反扭矩简化为${\tau }_e$，电机轴上的附加扭矩为${\tau }_a$，阻尼力矩${\tau }_f=k_{f}w$为转速的线性函数，设电机轴的转动惯量为$I_R$，则根据牛顿第二定律为
$$\sum M={\tau }_m-{\tau }_f-{\tau }_e-{\tau }_a=I_R\frac{dw}{dt}\text{\hspace{1em}(2.5)}$$
由于直流电机的阻尼力矩${\tau }_f$和反电动势产生的扭矩${\tau }_e$很小，故可以忽略，则有
$$\frac{dw}{dt}=\frac{k_m}{I_R}i-\frac{{\tau }_a}{I_R}\text{\hspace{1em}(2.6)}$$
带入电流得到
$$\frac{dw}{dt}=-\frac{k_m{k}_e}{I_{R}R}w+\frac{1}{I_{R}R}{V}_a-\frac{{\tau }_a}{I_R}\text{\hspace{1em}(2.7)}$$

2.2 两轮动力学模型

选取左右车轮为研究对象，进行受力分析。

以右轮为例，根据牛顿第二定律有:

（1）水平$x$方向受力：
$$M_w\ddot{x}=H_{fR}-H_R\text{\hspace{1em}(2.8)}$$
其中$M_w$为车轮质量，$\ddot{x}$为车轮质心运动加速度，$H_R$为车架对车轮的反作用力，$H_{fR}$为地面摩擦力。
（2）绕质心转动力矩：
$$I_w{\ddot{\theta }}_w=C_R-H_{fR}r\text{\hspace{1em}(2.9)}$$
其中$I_w$为车轮转动惯量，${\theta }_w$为车轮转动角度，$r$为车轮半径， C R C_R