27、加权最大叶生成树的核化研究

加权最大叶生成树的核化研究

1. 引言

在解决加权最大叶问题时，我们将所有顶点权重设置为 1/k 。若允许权重值为 0，通过独立集问题的归约可以证明，得到的问题对 W[1] 来说是困难的，因此我们聚焦于权重至少为 1 的情况。由于顶点间相对权重差异可能较小，参数 k 仍可能取到较小且实用的值。本文的主要成果是，当每个权重都是不小于 1 的有理数时，加权最大叶问题存在一个具有 5.5k 个顶点的核。核化通过一组简单的约简规则实现，这些规则可在线性时间内应用。

2. 预备知识

• 图的基本概念 ：对于图 G = (V, E)，用 V(G) 和 E(G) 分别表示顶点集和边集。所有考虑的图都是简单、无向且连通的。对于顶点 v ∈ V，其开邻域记为 NG(v)，在上下文明确时可省略下标。集合 S ⊆ V 的邻域定义为 NG(S) := ∪v∈SNG(v) \ S，顶点 v 在图 G 中的度记为 degG(v)。若 G′ 是 G 的子图，记为 G′ ⊆ G；对于 X ⊆ V，G - X 表示由不在 X 中的顶点诱导的 G 的子图。连通图 G 的割集是一个集合 S ⊆ V，使得 G - S 不连通，若 {v} 是割集，则顶点 v 是割点。
• 叶集与叶权重 ：图 G 的叶集是度为 1 的顶点集合，记为 Leaves(G) := {v ∈ V | degG(v) = 1}。若图 G 有权重函数 w : V → Q≥1（Q≥1 表示不小于 1 的有理数集），则其叶权重定义为 lww(G) := ∑v∈Leaves(G) w(v)。
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