61、量子机器学习中的关键技术：从子集多数表示到量子决策树与矩阵指数

量子机器学习中的关键技术：从子集多数表示到量子决策树与矩阵指数

1. 子集多数表示与量子神经网络

1.1 子集多数的量子表示

在量子计算的框架下，有如下表达式：
[U_{\theta} = \exp\left(\frac{i\beta}{2}\sum_{j}\theta_{j}Z_{j}X_{n + 1}\right)]
当 (j) 在子集中时，(\theta_{j} = 1)；当 (j) 不在子集中时，(\theta_{j} = 0)，此时 (U_{\theta}) 表示所选子集上的子集多数。对于训练样本 (z)，其预测标签值为：
[\sin\left(\beta\sum_{j}\theta_{j}z_{j}\right)]
对其进行四舍五入后，预测标签为：
[\text{sign}\left(\sum_{j}\theta_{j}z_{j}\right)]
这一结果可以直接用一个依赖于权重 (\theta) 的经典单神经元神经网络来解释。(\sum_{j}\theta_{j}z_{j}) 是神经元对输入的作用结果，非线性性来自于符号函数的应用。由于数据可以用一个超平面分开，所以用单个神经元很容易学习这个标签。同样的推理使我们得出结论：量子神经网络（QNN）可以被有效地训练来表示子集多数。小规模数值模拟也证实了 QNN 能够以低样本复杂度学习子集多数。

2. 量子决策树分类器

2.1 分类问题的形式化描述

给定包含 (m) 个值的类集合 (C = {c_1, \ldots, c_m})，包含 (n) 个对象的训练数据集可描述为 ({(x_1, y_1), (x_2, y