莫比乌斯反演

莫比乌斯（Mobius）函数定义：
$$\mu (n)=\{\begin{array}{ccc}1& & n=1\\ (-1{)}^k& & n=p_1{p}_2\cdots p_k\\ 0& & 其他\end{array}$$
对于第二种情况，$p_1,p_2,\cdots ,p_k$是互不相同的质数。

辅助定理

对于任意正整数$n$，恒有
$$\sum _{d|n}\mu (d)=\lfloor \frac{1}{n}\rfloor =\{\begin{array}{ccc}1& & n=1\\ 0& & n>1\end{array}$$

莫比乌斯反演定理

$f(n)$和$g(n)$是定义在正整数集合上的两个函数，若
$$f(n)=\sum _{d|n}g(d)$$
则
$$g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f(\frac{n}{d})$$
反之亦然.

证明：
$$\begin{gathered} \sum _{d|n}\mu (d)f(\frac{n}{d})=\sum _{d|n}\mu (d)\sum _{k|\frac{n}{d}}g(k) \\ =\sum _{d|n}\sum _{k|\frac{n}{d}}g(k)\mu (d) \\ =\sum _{k|n}\sum _{d|\frac{n}{k}}g(k)\mu (d) \\ =\sum _{k|n}g(k)\sum _{d|\frac{n}{k}}\mu (d) \\ =g(n) \end{gathered}$$

莫比乌斯反演实际上是容斥。

几种常见的反演

1、
$$\begin{gathered} g(n)=\mu (n) \\ f(n)=\{\begin{array}{ccc}1& & n=1\\ 0& & n>1\end{array} \\ g(n)=\sum _{d|n}\mu (d)f(\frac{n}{d})=\mu (d) \end{gathered}$$
所以莫比乌斯函数本身也可以反演。

2、
$$\begin{gathered} f(n)=n \\ g(n)=\varphi (n) \\ n=\sum _{d|n}\varphi (d) \end{gathered}$$