45、多元数据分析中的因子分析及相关算法

多元数据分析中的因子分析及相关算法

在多元数据分析领域，因子分析（Factor Analysis，FA）是一种经典的概率方法，用于寻找数据的低维表示。下面将详细介绍因子分析及其相关算法，包括E步、混合因子分析、人脸建模、概率主成分分析、典型相关分析和独立成分分析等内容。

1. E步与因子分析迭代

在因子分析中，更新过程依赖于统计量 $\langle h\rangle_{q(h|v_n)}$ 和 $\langle hh^T\rangle_{q(h|v_n)}$。使用EM算法的最优选择进行E步，可得：
$q(h|v_n) \propto p(v_n|h)p(h) = N (h m_n, \Sigma)$
其中，
$m_n = \langle h\rangle_{q(h|v_n)} = (I + F^T\epsilon^{-1}F)^{-1} F^T\epsilon^{-1}d_n$
$\Sigma = (I + F^T\epsilon^{-1}F)^{-1}$

利用这些结果，可将统计量表示为：
$H = \Sigma + \frac{1}{N} \sum_{n} m_n(m_n)^T$

通过迭代方程 $(21.2.29)$、$(21.2.31)$ 和 $(21.2.33)$ 直至收敛。与任何EM算法一样，似然函数在每次迭代中都会增加。不过，使用这种EM技术的收敛速度可能比特征方法慢。但如果使用合理的初始化，两种训练算法的性能可能相似。一种有用的初始化方法是使用主成分分析（PCA），然后将 $F$ 设置为主方向。

2. 混合因子分析

概率模型的一个优点是可以作为更复杂模型的