27、期望最大化算法：原理、应用与收敛性分析

期望最大化算法：原理、应用与收敛性分析

在数据分析和机器学习领域，处理含有缺失数据或隐藏变量的情况是一项常见的挑战。期望最大化（EM）算法作为一种通用且便捷的迭代方法，为解决这类问题提供了有效的途径。本文将深入探讨EM算法的原理、应用以及收敛性等方面的内容。

1. 期望最大化算法概述

期望最大化（EM）算法是一种用于在存在缺失数据或隐藏变量的情况下最大化似然函数的迭代方法。它通常易于实现，并且在参数空间中能够实现较大的跳跃，尤其是在初始迭代阶段。

2. 变分EM算法

EM算法的关键特征是构建一个替代目标函数，以消除参数耦合效应，从而实现单个参数的更新，类似于完全观测数据的情况。具体做法是用一个下界替换边际似然，这个下界具有有用的解耦形式。

考虑一个单变量对 $(v, h)$，其中 $v$ 表示“可见”变量，$h$ 表示“隐藏”变量。数据模型为 $p(v, h|\theta)$，我们的目标是通过最大化边际似然 $p(v|\theta)$ 来设置参数 $\theta$。为了推导边际似然的下界，考虑“变分”分布 $q(h|v)$ 与参数模型 $p(h|v, \theta)$ 之间的Kullback - Leibler散度：
[KL(q(h|v)|p(h|v, \theta)) \equiv \langle \log q(h|v) - \log p(h|v, \theta) \rangle_{q(h|v)} \geq 0]
经过一系列推导，我们得到边际似然的下界：
[\log p(v|\theta) \geq - \langle \log q(h|v) \rangle_{q(h|v)} + \langle \log