11、集合论：从清晰集到模糊集的全面解析

集合论：从清晰集到模糊集的全面解析

1. 清晰集基础

在集合论中，清晰集是基础概念。我们先来看一些基本的集合关系和操作。

集合关系示例
假设有集合 (A = {3, 4})，(B = {3, 4, 5})，(C = {4, 5, 3})。这里，(A) 是 (B) 的真子集，即 (A ⊂ B)，同时 (B) 是 (A) 的超集，(B ⊃ A)；(C) 是 (B) 的子集，(C ⊆ B)，(B) 是 (C) 的超集，(B ⊇ C)。

幂集
一个集合 (A) 的幂集是由 (A) 的所有可能子集（包括空集）组成的集合，用 (P(A)) 表示，其基数 (|P(A)| = 2^{|A|})。例如，若 (A = {3, 4, 6, 7})，则 (P(A) = { {3}, {4}, {6}, {7}, {3, 4}, {4, 6}, {6, 7}, {3, 7}, {3, 6}, {4, 7}, {3, 4, 6}, {4, 6, 7}, {3, 6, 7}, {3, 4, 7}, {3, 4, 6, 7}, ∅})。因为 (|A| = 4)，所以 (|P(A)| = 2^4 = 16)。

2. 清晰集的操作

清晰集有几种基本操作，下面详细介绍。

并集（(\cup)）
两个集合 (A) 和 (B) 的并集 (A ∪ B) 是包含所有属于 (A) 或属于 (B) 或同时属于 (A) 和 (B) 的元素的集合。例如，若 (A = {a, b, c, 1, 2})，(B = {