31、ZX 演算的形式化概述、完备性概念及应用案例

ZX 演算的形式化概述、完备性概念及应用案例

1. 引言

ZX 演算是一种图形化语言，它利用逻辑和数学性质（如交换律、结合律、分配律），为量子电路在 Z、X 基下的行为提供了公理化描述。通过图形化方式展示输入值、量子门之间的连接，直至得到输出值。

ZX 语言的重要特性包括：
- 所有图形都是无向的、同构的，任何变形都能恢复到原始状态并产生相同输出。
- 量子理论精确应用于希尔伯特空间，这些现象的自然行为可以用线性代数和 n 维微积分在完备度量空间的内积下进行数学建模。
- 该语言具有通用性，任何 (2^n\times2^m) 矩阵都可以用 ZX 图表示，在量子计算领域有实际应用。
- 存在一种特殊的代数结构——幺半范畴，它能与代数系统中的计算过程相互作用，帮助描述复合量子系统。

Hilb 范畴的幺半结构具有以下性质：
|性质|描述|
|----|----|
|张量积| (\otimes: Hilb \times Hilb \to Hilb) 是希尔伯特空间的张量积|
|单位对象| (I) 是一维希尔伯特空间 (\mathbb{C})|
|结合子| ((H \otimes J) \otimes K \to H \otimes (J \otimes K)) 是满足 ((u \otimes v) \otimes w \to u \otimes (v \otimes w)) 的单线性映射结构|
|左单位元| (\mathbb{C} \otimes H \to H) 是满足 (1 \otimes u \to u) 的单线性映射结构|
|右单位元| (H \otimes \mathb