26、项目调度：PERT与CPM技术解析

项目调度：PERT与CPM技术解析

在项目管理中，有效的调度是确保项目按时完成的关键。本文将深入探讨项目调度中的两种重要技术：计划评审技术（PERT）和关键路径法（CPM），并通过实际案例详细介绍它们的应用。

1. 项目调度基础步骤

在进行项目调度时，有几个基础步骤是必不可少的：
1. 列出活动的后继活动 ：根据活动的前驱关系，确定每个活动的后继活动。例如，如果活动D的前驱是活动A，那么活动D就是活动A的后继活动。
2. 计算项目完成时间 ：通过计算所有活动的最早完成时间（EFT），找出其中的最大值，即为项目的完成时间。
3. 计算最晚完成时间（LFT）和最晚开始时间（LST） ：
- 对于没有后继活动的活动，其LFT等于项目完成时间。
- 其他活动的LST可以通过公式“LST = LFT - 活动持续时间”计算得出。
- 对于只有一个后继活动的活动，其LFT等于后继活动的LST。
4. 计算总时差（TS） ：总时差是指活动在不影响项目总工期的前提下，可以推迟的时间。计算公式为“TS = LFT - EFT”。
5. 确定关键活动 ：关键活动是指总时差为零的活动，这些活动的延迟会直接影响项目的完成时间。可以使用公式“=IF(TS = 0, “关键活动”, “非关键活动”)”来判断活动是否为关键活动。

2. 计划评审技术（PERT）

PERT主要用于处理活动时间不确定的项目。当一个项目对于组织或员工来说是全新的，或者他们缺乏相关经验时，活动时间往往难以准确估计。在这种情况下，PERT可以帮助我们估算项目的完成时间和概率。

2.1 案例：East Fork Roofing

East Fork Roofing是一家位于内华达州北部里诺市的屋顶工程公司。在一个住宅屋顶项目中，需要在临时厨房上安装纤维板屋顶。由于员工缺乏安装纤维板屋顶的经验，每个活动的时间难以准确估计，因此采用了PERT技术。

项目活动及前驱关系如下表所示：
| 活动 | 描述 | 前驱活动 |
| ---- | ---- | ---- |
| A | 采购材料 | - |
| B | 将三根铝制通道切割成规格尺寸 | A |
| C | 将所有通道放置在屋顶上，并保持适当的间距并对齐 | B |
| D | 在屋顶的S1侧钻孔并固定通道 | C |
| E | 在该侧涂抹粘合剂，以便放置和固定纤维板 | D |
| F | 在屋顶的S2侧钻孔并固定通道 | C |
| G | 在该侧（S2）涂抹粘合剂，以便放置和固定纤维板 | F |
| H | 放置板材并使其平衡 | E, G |
| I | 通过钻孔和与通道啮合，将屋顶的S1侧与板材固定 | H |
| J | 在接缝处涂抹硅酮粘合剂并固定板材 | I |
| K | 通过钻孔和与通道啮合，将屋顶的S2侧与板材固定 | H |
| L | 在接缝处涂抹硅酮粘合剂并固定板材 | K |

为了估算每个活动的时间，考虑了以下三种时间估计：
- 乐观时间（to） ：在理想条件下完成活动所需的最短时间。
- 最可能时间（tm） ：在正常条件下完成活动最可能需要的时间。
- 悲观时间（tp） ：在最坏条件下完成活动所需的最长时间。

活动的期望时间（te）可以通过公式“te = (to + 4 * tm + tp) / 6”计算得出。同时，由于活动时间的不确定性，还可以计算其方差，公式为“方差 = ((tp - to) / 6) ^ 2”。

各活动的时间估计及计算结果如下表所示：
| 活动 | 乐观时间（to）（分钟） | 最可能时间（tm）（分钟） | 悲观时间（tp）（分钟） | 期望时间（te）（分钟） | 方差 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | 60 | 90 | 120 | 90 | 100.00 |
| B | 20 | 30 | 34 | 29 | 5.44 |
| C | 8 | 10 | 18 | 11 | 2.78 |
| D | 12 | 15 | 30 | 17 | 9.00 |
| E | 4 | 5 | 6 | 5 | 0.11 |
| F | 12 | 21 | 30 | 21 | 9.00 |
| G | 4 | 7 | 10 | 7 | 1.00 |
| H | 11 | 17 | 29 | 18 | 9.00 |
| I | 20 | 24 | 40 | 26 | 11.11 |
| J | 6 | 8 | 10 | 8 | 0.44 |
| K | 20 | 24 | 34 | 25 | 5.44 |
| L | 7 | 8 | 9 | 7 | 0.11 |

PERT的主要目的包括：
- 估算每个活动的期望时间。
- 估算项目的计划完成时间。
- 找出关键活动和非关键活动。
- 计算项目在给定计划时间内完成的概率。

实现这些目标的步骤如下：
1. 绘制项目网络图 ：展示项目中各活动之间的先后顺序和依赖关系。
2. 计算每个活动的期望时间和方差 ：使用上述公式进行计算。
3. 确定关键路径 ：通过计算每个活动的最早开始时间（EST）、最早完成时间（EFT）、最晚开始时间（LST）和最晚完成时间（LFT），找出总时差为零的活动，这些活动构成了关键路径。
4. 计算标准正态偏差（z值） ：使用公式“z = (计划时间 - 期望时间) / 关键路径的标准差”计算z值。通过z值，可以从正态分布表中查找对应的概率，从而估算项目在计划时间内完成的概率。

mermaid流程图如下：

graph LR
    A[绘制项目网络图] --> B[计算期望时间和方差]
    B --> C[确定关键路径]
    C --> D[计算标准正态偏差（z值）]
    D --> E[估算项目完成概率]

3. 关键路径法（CPM）与赶工（Crashing）

CPM主要用于确定项目的关键路径，即决定项目完成时间的最长路径。在某些情况下，项目管理者可能希望提前完成项目，这就需要进行赶工。赶工是指通过增加资源来缩短活动的持续时间，但同时也会增加项目的成本。

3.1 赶工的相关概念

• 正常时间（Tn） ：活动在正常情况下完成所需的时间。
• 赶工时间（Tc） ：活动在增加资源后可以缩短到的最短时间。
• 正常成本（Cn） ：活动在正常时间内完成所需的成本。
• 赶工成本（Cc） ：活动在赶工时间内完成所需的成本。
• 成本斜率 ：活动持续时间每缩短1天，直接成本的增加量。计算公式为“成本斜率 = (Cc - Cn) / (Tn - Tc)”。

3.2 赶工的步骤

1. 绘制项目网络图 ：明确项目中各活动的先后顺序和依赖关系。
2. 确定关键路径 ：通过计算EST、EFT、LST和LFT，找出最长路径。
3. 计算每个活动的成本斜率 ：使用上述公式进行计算。
4. 选择成本斜率最小的活动进行赶工 ：在关键路径上，选择成本斜率最小的活动进行赶工，以最小的成本增加来缩短项目时间。
5. 估算活动可以赶工的时间 ：遵循一个基本原则，即活动的赶工时间不应导致关键路径的改变。
6. 重复上述步骤 ：直到进一步缩短时间会导致成本增加，或者所有路径都成为关键路径为止。

3.3 赶工示例

考虑一个包含四个活动A、B、C和D的建筑项目。项目管理者希望在10个月内完成项目，但在正常时间下无法满足要求。相关数据如下表所示：
| 活动 | 前驱活动 | 正常时间（Tn）（月） | 赶工时间（Tc）（月） | 正常成本（Cn）（千美元） | 赶工成本（Cc）（千美元） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | 7 | 6 | 20 | 35 |
| B | - | 9 | 7 | 15 | 25 |
| C | A | 6 | 5 | 10 | 18 |
| D | B | 7 | 5 | 21 | 32 |

通过计算，关键路径为B - D，总工期为16个月。各活动的成本斜率如下：
- 活动A：(35 - 20) / (7 - 6) = 15
- 活动B：(25 - 15) / (9 - 7) = 5
- 活动C：(18 - 10) / (6 - 5) = 8
- 活动D：(32 - 21) / (7 - 5) = 4.5

由于活动B的成本斜率最小，首先对活动B进行赶工。活动B最多可以赶工2个月，赶工后项目工期缩短至14个月，总成本为144千美元。继续赶工活动D和活动C，最终项目工期缩短至12个月，但总成本增加至148.5千美元。

赶工过程的迭代结果如下表所示：
| 迭代次数 | 项目完成时间（月） | 直接成本（千美元） | 间接成本（千美元） | 总成本（千美元） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 0 | 16 | 66 | 80 | 146 |
| 1 | 14 | 76 | 70 | 144 |
| 2 | 13 | 80.5 | 65 | 145.5 |
| 3 | 12 | 88.5 | 60 | 148.5 |

mermaid流程图如下：

graph LR
    A[绘制项目网络图] --> B[确定关键路径]
    B --> C[计算成本斜率]
    C --> D[选择成本斜率最小的活动赶工]
    D --> E[估算赶工时间]
    E --> F{是否继续赶工?}
    F -- 是 --> C
    F -- 否 --> G[结束]

4. Excel解决方案

在实际应用中，可以使用Excel来实现PERT和CPM的计算。以下是具体的操作步骤：

4.1 PERT的Excel解决方案

1. 计算关键路径 ：按照CPM的算法，计算EST、EFT、LFT和LST。在PERT中，需要输入每个活动的乐观时间（to）、最可能时间（tm）和悲观时间（tp），并使用公式“= (C2 + 4 * D2 + E2) / 6”计算期望时间（te）。
2. 计算方差 ：在Excel中，使用公式“= ((E2 - C2) / 6) ^ 2”计算每个活动的方差。然后，找出关键活动（总时差为零的活动），并计算它们的方差之和。
3. 计算标准偏差 ：使用公式“= SQRT(方差之和)”计算关键路径的标准偏差。
4. 计算z值 ：使用公式“= (计划时间 - 期望时间) / 标准偏差”计算z值。
5. 计算项目完成概率 ：使用Excel的函数“= NORM.S.DIST(z值, TRUE)”计算项目在计划时间内完成的概率。

4.2 赶工的Excel解决方案

1. 输入数据 ：在Excel中输入每个活动的正常时间、赶工时间、正常成本和赶工成本。计算每个活动的最大赶工时间（Tn - Tc）、成本增加量（Cc - Cn）和成本斜率。
2. 计算关键路径 ：使用已有的算法计算关键路径。在赶工过程中，活动的持续时间会发生变化，因此需要根据赶工时间重新计算。
3. 使用Solver求解 ：使用Excel的Solver工具来实现赶工的优化。目标是在满足项目工期要求的前提下，最小化项目的总成本。决策变量是每个活动的赶工时间，约束条件包括赶工时间不能超过最大赶工时间，以及项目完成时间的要求。

通过以上介绍，我们了解了PERT和CPM在项目调度中的应用，以及如何使用它们来处理活动时间不确定的项目和进行赶工优化。这些技术可以帮助项目管理者更好地规划和控制项目，提高项目的成功率。

项目调度：PERT与CPM技术解析

5. 深入理解PERT与CPM的应用场景

在项目管理中，正确选择PERT和CPM技术对于项目的成功至关重要。PERT适用于活动时间不确定的项目，尤其是当项目是全新的，员工缺乏相关经验时。例如，一家公司进入新的市场领域，开展从未涉足过的项目，此时活动时间难以准确预估，PERT可以帮助管理者估算项目完成时间和概率，从而做出更合理的决策。

而CPM则更侧重于确定项目的关键路径，适用于活动时间相对确定的项目。当项目的活动流程和时间较为清晰时，CPM可以帮助管理者找出决定项目完成时间的关键活动，通过对关键活动的管理和优化，确保项目按时完成。

以下是PERT和CPM应用场景的对比表格：
| 技术 | 应用场景 | 优势 |
| ---- | ---- | ---- |
| PERT | 活动时间不确定的新项目，如进入新市场的项目、新技术研发项目等 | 能够处理不确定性，估算项目完成概率，为决策提供依据 |
| CPM | 活动时间相对确定的项目，如常规建筑项目、生产制造项目等 | 明确关键路径，便于集中资源管理关键活动，确保项目按时完成 |

6. 实际案例分析：进一步理解PERT与CPM的应用

6.1 PERT案例拓展

假设一家科技公司计划开发一款新的软件产品。由于这是一个全新的项目，开发团队对各个开发阶段的时间难以准确估计。以下是部分活动的时间估计：
| 活动 | 乐观时间（to）（天） | 最可能时间（tm）（天） | 悲观时间（tp）（天） |
| ---- | ---- | ---- | ---- |
| 需求分析 | 5 | 7 | 10 |
| 设计阶段 | 8 | 10 | 15 |
| 编码实现 | 20 | 25 | 35 |
| 测试阶段 | 10 | 12 | 18 |

按照PERT的步骤进行计算：
1. 计算期望时间（te） ：
- 需求分析：$te = (5 + 4 * 7 + 10) / 6 = 7.17$（天）
- 设计阶段：$te = (8 + 4 * 10 + 15) / 6 = 10.5$（天）
- 编码实现：$te = (20 + 4 * 25 + 35) / 6 = 25.83$（天）
- 测试阶段：$te = (10 + 4 * 12 + 18) / 6 = 12.67$（天）
2. 计算方差 ：
- 需求分析：$方差 = ((10 - 5) / 6) ^ 2 = 0.69$
- 设计阶段：$方差 = ((15 - 8) / 6) ^ 2 = 1.36$
- 编码实现：$方差 = ((35 - 20) / 6) ^ 2 = 6.25$
- 测试阶段：$方差 = ((18 - 10) / 6) ^ 2 = 1.78$
3. 绘制项目网络图 ：展示各活动之间的先后顺序和依赖关系。
4. 确定关键路径 ：通过计算EST、EFT、LST和LFT，找出总时差为零的活动，确定关键路径。
5. 计算标准正态偏差（z值） ：假设计划时间为60天，期望时间为$7.17 + 10.5 + 25.83 + 12.67 = 56.17$天，关键路径的方差之和为$0.69 + 1.36 + 6.25 + 1.78 = 10.08$，标准偏差为$\sqrt{10.08} = 3.17$，则$z = (60 - 56.17) / 3.17 = 1.21$。从正态分布表中查找对应的概率，估算项目在60天内完成的概率。

mermaid流程图如下：

graph LR
    A[需求分析] --> B[设计阶段]
    B --> C[编码实现]
    C --> D[测试阶段]
    A --> E(计算期望时间)
    B --> E
    C --> E
    D --> E
    E --> F(计算方差)
    F --> G(绘制项目网络图)
    G --> H(确定关键路径)
    H --> I(计算标准正态偏差（z值）)
    I --> J(估算项目完成概率)

6.2 CPM与赶工案例拓展

考虑一个道路建设项目，包含以下活动：
| 活动 | 前驱活动 | 正常时间（Tn）（周） | 赶工时间（Tc）（周） | 正常成本（Cn）（万元） | 赶工成本（Cc）（万元） |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| A | - | 8 | 6 | 20 | 30 |
| B | A | 10 | 8 | 30 | 40 |
| C | B | 12 | 10 | 40 | 50 |
| D | B | 6 | 5 | 15 | 20 |
| E | C, D | 8 | 7 | 25 | 30 |

按照赶工的步骤进行操作：
1. 绘制项目网络图 ：明确各活动之间的先后顺序和依赖关系。
2. 确定关键路径 ：通过计算EST、EFT、LST和LFT，找出最长路径。假设关键路径为A - B - C - E，总工期为$8 + 10 + 12 + 8 = 38$周。
3. 计算每个活动的成本斜率 ：
- 活动A：$(30 - 20) / (8 - 6) = 5$（万元/周）
- 活动B：$(40 - 30) / (10 - 8) = 5$（万元/周）
- 活动C：$(50 - 40) / (12 - 10) = 5$（万元/周）
- 活动D：$(20 - 15) / (6 - 5) = 5$（万元/周）
- 活动E：$(30 - 25) / (8 - 7) = 5$（万元/周）
4. 选择成本斜率最小的活动进行赶工 ：由于各活动成本斜率相同，选择关键路径上可以赶工的活动进行尝试。假设先对活动A进行赶工，缩短2周。
5. 估算活动可以赶工的时间 ：活动A最多可以赶工2周，赶工后重新计算关键路径和项目工期。
6. 重复上述步骤 ：直到进一步缩短时间会导致成本增加，或者所有路径都成为关键路径为止。

mermaid流程图如下：

graph LR
    A[绘制项目网络图] --> B[确定关键路径]
    B --> C[计算成本斜率]
    C --> D[选择成本斜率最小的活动赶工]
    D --> E[估算赶工时间]
    E --> F{是否继续赶工?}
    F -- 是 --> C
    F -- 否 --> G[结束]

7. 总结与建议

通过对PERT和CPM技术的深入探讨和实际案例分析，我们可以总结出以下要点：
- PERT适用于活动时间不确定的项目，能够帮助管理者处理不确定性，估算项目完成概率，为决策提供更科学的依据。在使用PERT时，要准确估计每个活动的乐观时间、最可能时间和悲观时间，以提高计算结果的准确性。
- CPM适用于活动时间相对确定的项目，能够明确项目的关键路径，便于集中资源管理关键活动，确保项目按时完成。在进行赶工时，要合理选择赶工活动，平衡成本和时间的关系，避免过度赶工导致成本大幅增加。
- 在实际项目管理中，可以根据项目的特点和需求，灵活结合使用PERT和CPM技术。例如，在项目初期使用PERT进行时间估算和风险评估，在项目执行过程中使用CPM进行关键路径管理和进度控制。

建议项目管理者在日常工作中，加强对PERT和CPM技术的学习和应用，不断积累经验，提高项目管理的能力和水平。同时，要充分利用现代工具，如Excel等，提高计算效率和准确性，更好地实现项目的目标。

通过以上内容，我们对项目调度中的PERT和CPM技术有了更全面的了解，掌握了它们的应用方法和实际操作步骤。在实际项目管理中，合理运用这些技术可以帮助我们更好地规划和控制项目，提高项目的成功率。