齐次坐标的意义

 

首先想像有个绝对不变的坐标系(0,0)，记为W，然后以W为参照，建立两个坐标系O1和O2,O1的原点在W的（1,1)处，O2的原点在W的（2,2)处。那么W中的一个点P（x,y）在O1中将变为P（x-1,y-1)，在O2中将是P（x-2,y-2)，这样同一个点P在不同的坐标系下就具有了不同的表示。这会产生一个问题：显然，P点在二维空间的位置是唯一的，是与坐标系无关的，而不同坐标系下的表示看上去体现不了这种无关性。

       我们使用的是坐标系这样一个概念，坐标系忽略了坐标原点所具有的重要意义：正是原点标示了该坐标系处于哪个参照位置。如果用矩阵来表示一个二维坐标系，将会是如下形式：
|1 0|

|0 1|，其中（1 0)T表示一个基矢量，（01)T表示另一个基矢量，它们互相垂直，因此能利用它们标记整个二维空间。
(x,y)*|1 0| = (x,y)

        |0 1|

这就是二维坐标的实际意义。

 

现在考虑将坐标原点(a,b)也引入到这个矩阵表示中来：
|1 0 |
|0 1 |
|a b |   【个人感觉这里应该是-a和-b】
我们用这个矩阵可以表示二维空间中任意位置的一个坐标系，当然，这个坐标系的基矢量可以不为（0 1)T和（10)T，为了和坐标系区分，我们称这种新表示为标架表示。
好，问题来了，如果我们仍然用（x y）来表示点P，那么根据矩阵的乘法规则，我们无法完成其乘法：mx N 的矩阵只能和 Nxk的矩阵相乘。解决的办法就是： 给P点添一个尾巴，这个尾巴通常为1：P（x y1)，这就是P的齐次坐标，利用新的齐次坐标和矩阵相乘得到的结果为：（x+a,y+b)，这样同一个点在不同标架下的不同表示最终会得到同一个计算结果，它反映了这样一个事实：同一个点在不同标架下的不同表示其实是等价的，这一点恰恰是使用坐标系无法体现出来的。
显然上面那个 3x2的矩阵和P的齐次表示相乘得到的不是齐次坐标，所以应该将它扩充成3x3的方阵：
|1 0 0|
|0 1 0|
|a b 1|

（end）