[计算机视觉] 什么是齐次坐标？为什么要引入齐次坐标？

0、参考链接

• Homogeneous Coordinates
• 为什么要引入齐次坐标

1、问题：两条平行线可以相交于一点

• 在欧式空间中，同一平面的两条直线不能相交；

• 在透视空间中，两条平行线可以相交，火车轨道随着我们的视线越来越窄，最后两条平行线在无穷远处交于一点；

  

• 欧式空间描述2D/3D几何非常合适，但这种方法不适合处理透视空间的问题。

2、解决方法：利用齐次坐标解决这一问题

• 齐次坐标就是用N+1维来代表N维坐标；

• 我们可以在一个2D笛卡尔坐标(X, Y)末尾加上一个额外的变量w来形成2D齐次坐标(x, y, w)，并且有：

  X = x / w

  Y = y / w

  例如，笛卡尔坐标系下(1, 2)的齐次坐标可以表示为(1, 2, 1)，如果(1, 2)移动到无限远处，在笛卡尔坐标系下变成(∞, ∞)，这个点没有意义，它的齐次坐标为(1, 2, 0)。

• 平行线在透视空间的无穷远处交于一点，但是在欧氏空间却不能。

3、为什么叫齐次坐标？

我们把齐次坐标转化为笛卡尔坐标的方法是前面n-1个坐标分量分别除以最后一个分量即可。
$$\begin{array}{ccc}(x,y,w)& \iff & \left(\frac{x}{w},\frac{y}{w}\right)\\ \text{ Homogeneous }& & \end{array}$$

( 1 , 2 , 3 ) ⇒ ( 1 3 , 2 3 ) ( 2 , 4 , 6 ) ⇒ ( 2 6 , 4 6 ) = ( 1 3 , 2 3 ) ( 4 , 8 , 12 ) ⇒ ( 4 12 , 8 12 ) = ( 1 3 , 2 3 ) ⋮ ⋮ ( 1 a , 2 a , 3 a ) ⇒ ( 1 a 3 a , 2 a 3 a ) = ( 1 3 , 2 3 ) \begin{array}{c} (1,2,3) \Rightarrow\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \\ (2,4,6) \Rightarrow\left(\frac{2}{6}, \frac{4}{6}\right) \quad=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \\ (4,8,12) \Rightarrow\left(\frac{4}{12}, \frac{8}{12}\right)=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \\ \vdots & \vdots \\ (1 a, 2 a, 3 a) \Rightarrow\left(\frac{1 a}{3 a}, \frac{2 a}{3 a}\right)=\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) \end{array} (1,2,3)⇒(31​,32​)(2,4,6)⇒(62​,64​)=(31​,32​)(4,8,12)⇒(124​,128​)=(31​,