[洛谷P4707]重返现世

最新推荐文章于 2021-12-17 08:59:11 发布

alan_cty

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分类专栏：多项式生成函数文章标签： luoguP4707 重返现世生成函数 Dp EGF

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本文探讨了在特定条件下，求解获得指定种类物品期望操作数的算法问题。通过运用概率论和组合数学，文章详细阐述了如何利用指数生成函数（EGF）和多项式乘法来解决此类问题，并提供了完整的代码实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

有n种物品，每次操作你有 $pimpi\over m$ 的概率获得第i种物品
求你获得k种物品的期望操作数。
n<=1000,n-k<=10,m<=10000

Solution

考虑第i个物品的EGF为 $epimx−1e^{{p_i\over m}x}-1$
枚举最后一个出现的物品为s，令 $Fs(x)=∑∣a∣=k−1,s∉a∏j=1k−1(epjmx−1)F_s(x)=\sum_{|a|=k-1,s\notin a}\prod_{j=1}^{k-1}(e^{{p_j\over m}x}-1)$
我们要求的就是 $psm∑i>=0[xi]Fs(x)i!∗i{p_s\over m}\sum_{i>=0}[x^i]F_s(x)i!*i$
考虑把F(x)写成 $∑aiebimx\sum a_ie^{{b_i\over m}x}$
对于一个 $enmxe^{{n\over m}x}$ 对于答案的贡献为 $∑i>=0(nm)ii!∗i!∗(i+1)\sum_{i>=0}{({n\over m})^i\over i!}*i!*(i+1)$
$=∑i>=0(nm)i(i+1)=\sum_{i>=0}({n\over m})^i(i+1)$
$=(mm−n)2=({m\over m-n})^2$
考虑如何求F(x)，先不管i不能选的限制，求出F[k][j]表示当前有k个多项式没有选择，剩下的多项式的乘积
然后每一次对于枚举的i，从F[k][j]中将i的贡献删去，统计答案之后再加回来
复杂度O(n(n-k)m)

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

const int N=1e4+5,Mo=998244353;

int inc(int x,int y) {return x+y>=Mo?x+y-Mo:x+y;}
int dec(int x,int y) {return x-y<0?x-y+Mo:x-y;}

int n,m,k,p[N],f[15][N],inv[N];

int main() {
	scanf("%d%d%d",&n,&k,&m);k=n-k;
	fo(i,1,n) scanf("%d",&p[i]);
	inv[1]=1;fo(i,2,m) inv[i]=(ll)(Mo-Mo/i)*inv[Mo%i]%Mo;
	f[0][0]=1;
	fo(i,1,n) {
		fd(w,k,0)
			fd(j,m,0) {
				f[w][j]=dec(0,f[w][j]);
				if (j>=p[i]) f[w][j]=inc(f[w][j],f[w][j-p[i]]);
				if (w) f[w][j]=inc(f[w][j],f[w-1][j]);
			}
	}
	int ans=0;
	fo(i,1,n) {
		fo(j,0,m) 
			fo(w,0,k) {
				if (w) f[w][j]=dec(f[w][j],f[w-1][j]);
				if (j>=p[i]) f[w][j]=dec(f[w][j],f[w][j-p[i]]);
				f[w][j]=dec(0,f[w][j]);
			}
		int res=f[k][0];
		fo(j,1,m-p[i]) {
			int p=(ll)m*inv[m-j]%Mo;
			res=inc(res,(ll)f[k][j]*p%Mo*p%Mo);
		}
		ans=inc(ans,(ll)res*p[i]%Mo*inv[m]%Mo);
		fd(w,k,0)
			fd(j,m,0) {
				f[w][j]=dec(0,f[w][j]);
				if (j>=p[i]) f[w][j]=inc(f[w][j],f[w][j-p[i]]);
				if (w) f[w][j]=inc(f[w][j],f[w-1][j]);
			}
	}
	printf("%d\n",ans);
	return 0;
}