[牛客网Wannafly挑战赛24F]wyf的超级多项式

最新推荐文章于 2020-02-09 22:10:23 发布

alan_cty

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分类专栏： FFT 文章标签：牛客网wannafly24 wyf的超级多项式常系数齐次线性递推分治FFT 多项式

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本文探讨了一种使用生成函数解决线性递推问题的方法，通过将递推关系转化为生成函数的形式，进而求解特定项Fn。文章详细介绍了如何通过通分、多项式乘法和逆元等技巧，将问题简化为常系数齐次线性递推，并提供了一个高效的O(n(n-k))算法实现。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

已知 $Fi=∑j=1kajvjiF_i=\sum_{j=1}^{k}a_jv_j^i$
给出 $v 1 . . k$ 和 $F 1 . . k$ ，求 $F n$
n,k<=1e5,n-k<=1e3

Solution

考虑F的生成函数F(x)，显然有 $F(x)=∑i=1kai1−vixF(x)=\sum_{i=1}^{k}{a_i\over 1-v_ix}$
通分之后可以写成 $F(x)=A(x)C(x)F(x)={A(x)\over C(x)}$
其中 $C(x)=∏i=1k(1−vix)=1−∑i=1kcixiC(x)=\prod_{i=1}^{k}(1-v_ix)=1-\sum_{i=1}^{k}c_ix^i$
考虑这样一个东西，设 $Fn=∑i=1kFn−iciF_n=\sum_{i=1}^{k}F_{n-i}c_i$ 也就是常系数齐次线性递推
写成生成函数就是 $F (x) C (x) = F (x) + A (x)$
$F(x)=A(x)C(x)−1=−A(x)1−C(x)F(x)={A(x)\over C(x)-1}=-{A(x)\over 1-C(x)}$
那么我们上面的C(x)就是递推系数了，直接做常系数齐次线性递推就好了
O(n(n-k))是可接受的，当然O(k log k log n)也是很资瓷的

Code

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

int read() {
	char ch;
	for(ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
	int x=ch-'0';
	for(ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
	return x;
}

const int N=4e5+5,Mo=1004535809;

int pwr(int x,int y) {
	int z=1;
	for(;y;y>>=1,x=(ll)x*x%Mo)
		if (y&1) z=(ll)z*x%Mo;
	return z;
}

int n,k,len,lg,t[N],v[N],f[N],c[N],F[N],G[N],W[N];

void pre(int N) {
	for(len=1,lg=0;len<=N;len<<=1) lg++;
	W[0]=1;W[1]=pwr(3,(Mo-1)/len);
	fo(i,2,len) W[i]=(ll)W[i-1]*W[1]%Mo;
}

void DFT(int *a,int flag) {
	for(int i=0;i<len;i++) {
		int p=0;
		for(int j=i,k=0;k<lg;k++,j>>=1) p=(p<<1)+(j&1);
		t[p]=a[i];
	}
	for(int m=2;m<=len;m<<=1) {
		int half=m/2,times=len/m;
		for(int i=0;i<half;i++) {
			int w=(flag>0)?W[i*times]:W[len-i*times];
			for(int j=i;j<len;j+=m) {
				int u=t[j],v=(ll)w*t[j+half]%Mo;
				t[j]=(u+v)%Mo;
				t[j+half]=(u-v)%Mo;
			}
		}
	}
	for(int i=0;i<len;i++) a[i]=t[i];
	if (flag==-1) {
		int inv=pwr(len,Mo-2);
		for(int i=0;i<len;i++) a[i]=(ll)a[i]*inv%Mo;
	}
}

void solve(int l,int r) {
	if (l==r) {
		c[l]=-v[l];
		return;
	}
	int mid=l+r>>1;
	solve(l,mid);solve(mid+1,r);
	pre(r-l+1);
	fo(i,0,len-1) F[i]=G[i]=0;
	fo(i,l,mid) F[i-l+1]=c[i];F[0]=1;
	fo(i,mid+1,r) G[i-mid]=c[i];G[0]=1;
	DFT(F,1);DFT(G,1);
	fo(i,0,len-1) F[i]=(ll)F[i]*G[i]%Mo;
	DFT(F,-1);
	fo(i,l,r) c[i]=F[i-l+1];
}

int main() {
	n=read();k=read();
	fo(i,1,k) v[i]=read();
	fo(i,1,k) f[i]=read();
	solve(1,k);
	fo(i,1,k) c[i]=-c[i];
	fo(i,k+1,n)
		fo(j,1,k)
			(f[i]+=(ll)f[i-j]*c[j]%Mo)%=Mo;
	printf("%d\n",(f[n]+Mo)%Mo);
	return 0;
}