[CF889E]Mod Mod Mod

最新推荐文章于 2024-01-11 09:33:10 发布

alan_cty

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分类专栏：其他dp 文章标签： Codeforces Dp

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本文介绍了一个特定数学问题的最大f(x,1)的求解算法，该问题涉及序列a及其对数取模运算。通过动态规划的方法，使用set数据结构实现了高效的计算过程。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

Description

给出一个长度为n的序列a，定义f(x,n)=x%a[n],f(x,i)=x mod a[i]+f(x mod a[i],i+1) (1<=i < n)
求最大的f(x,1)
n<=2*1e5,ai<=1e13

Solution

我太菜了不会做，还是来翻译题解吧：
设x=初始值mod a[1] mod a[2] mod a[3]…mod a[i]，F[i][j]为当前做到第i个，x=0~j时满足，1~i位置的权值为x*i+F[i][j]
考虑下一位a[i+1]，如果j < a[i+1]那么没有影响，直接转移到F[i+1][j]
否则分成两部分，F[i+1][j%a[i+1]]=F[i][j]+i*(j-j%a[i+1])
F[i+1][a[i+1]-1]=F[i][j]+i*a[i+1]*((j+1)/a[i+1]-1)
可以发现这样子只有O(n)个状态，并且第一条转移只会做O(logA)次。
用一个东西维护这个Dp即可，题解写map可是我不会，于是我选择set

Code

#include <set>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define fo(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
#define fd(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
using namespace std;

typedef long long ll;

ll read() {
    char ch;
    for(ch=getchar();ch<'0'||ch>'9';ch=getchar());
    ll x=ch-'0';
    for(ch=getchar();ch>='0'&&ch<='9';ch=getchar()) x=x*10+ch-'0';
    return x;
}

const int N=2*1e5+5;

struct node{
    ll j,k;
    node(ll _j=0,ll _k=0) {j=_j;k=_k;}
    friend bool operator < (node x,node y) {return x.j>y.j||x.j==y.j&&x.k>y.k;}
};

set<node> f;

typedef set<node> :: iterator it;
ll a[N];

int main() {
    int n=read();
    fo(i,1,n) a[i]=read();
    f.insert(node(a[1]-1,0));
    fo(i,1,n-1) {
        ll m=a[i+1],Mx=0;bool pty=0;
        while (1) {
            it pos=f.begin();
            ll j=(*pos).j,k=(*pos).k;
            if (j<m) break;
            pty=1;
            Mx=max(Mx,k+(ll)i*((j+1)/m*m-m));
            f.insert(node(j%m,k+(ll)i*(j-j%m)));
            f.erase(pos);
        }
        if (pty) f.insert(node(m-1,Mx));
    }
    ll ans=0;
    for(it pos=f.begin();pos!=f.end();pos++) {
        ll j=(*pos).j,k=(*pos).k;
        ans=max(ans,k+(ll)j*n);
    }
    printf("%lld\n",ans);
}