微表面模型GGX/Trowbridge-Reitz概率密度函数的推导

狂烂球

已于 2022-02-13 19:07:15 修改

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分类专栏：图形学概率论数学文章标签：概率论机器学习自然语言处理

于 2020-05-19 19:02:01 首次发布

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/air_liang1212/article/details/106215259

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先说明一下，我们平常说的GGX的正确技术名称就是trowbridge-Reitz。

各向同性GGX

微表面的法线分布定义如下：

$\int _{\Omega }D(h)\cos\theta _hdh = 1$

其中D(h)是法线分布函数，cosθh是N dot h。

$p(h) = D(h) \cos \theta _h = \frac{\alpha ^2 \cos\theta _h}{\pi\left ( \left ( \cos\theta_h \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

根据概率密度函数的转换：p(θ, φ) = sinθp(ω)

$p(\theta, \phi) = \frac{\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\pi\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

根据边际概率密度：

$p(\theta) = \int _{0}^{2\pi} p(\theta, \phi)d\phi = \int _{0}^{2\pi}\frac{\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\pi\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2} d\phi = \frac{2\alpha ^2 \cos\theta \sin\theta}{\left ( \left ( \cos\theta \right )^2(\alpha ^2-1) + 1 \right )^2}$

求条件概率：

$p(\phi |\theta) = \frac{p(\phi, \theta)}{p(\theta)} = \frac{1}{2\pi}$

分别求θ和φ的概率累积函数：

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