12、入侵者分类博弈的纳什均衡计算

入侵者分类博弈的纳什均衡计算

1 纳什均衡中玩家策略的形式

1.1 防守者的纳什均衡策略

在纳什均衡中，防守者为了最大化其防御能力，需要求解线性规划问题（LP）。线性规划问题存在多项式时间算法来求解。我们的方法不仅能保证以低复杂度计算出双方玩家的纳什均衡策略，还能让我们了解防守者行为背后的原因。

防守者的最佳响应策略可通过观察多面体 $\Lambda x \geq 1_{N + 1}, x \geq 0$ 的顶点来确定。这里有 $N + 1$ 个“不等式”约束和 $N + 2$ 个“非负性”约束。假设 $\delta(H)$ 和 $M(H)$ 为正函数，若不是，可添加常数参数使其为正，且不影响博弈的纳什均衡。“不等式”约束如下：
- $\delta(0) \cdot x_0 + M(0)|x| \geq 1$
- $\delta(1) \cdot (x_0 + x_1) + M(1)|x| \geq 1$
- $\cdots$
- $\delta(i) \cdot (x_0 + \cdots + x_i) + M(i)|x| \geq 1$
- $\cdots$
- $\delta(N) \cdot (x_0 + x_1 + \cdots + x_N) + M(N)|x| \geq 1$

我们的目标是排除非顶点和非纳什均衡中防守者会选择的点，以减少需要检查的点数。根据攻击者的成本函数 $\delta$ 和 $M$ 的性质，我们可以在多项式时间内解析计算出防守者的纳什均衡策略。后续分析将考虑以下两个条件：
- 条件 1 ：对于所有 $s \in {0,