43、带有概率分布值收益的博弈与隐私敏感消费者激励方案

带有概率分布值收益的博弈与隐私敏感消费者激励方案

在博弈论和消费者行为研究领域，有两个重要的主题值得深入探讨，一是带有概率分布值收益的博弈，二是隐私敏感消费者的激励方案。下面将详细介绍这两个方面的内容。

带有概率分布值收益的博弈

博弈基础与收益计算

在基于序关系 ⪯ 定义博弈论时，这种序关系会在超实数集 ∗R 上诱导出一种拓扑结构，从而可以合理地讨论连续收益函数。以矩阵博弈为例，有两个玩家，他们分别拥有有限的纯策略空间 PS1 和 PS2，收益结构 A 是一个由来自集合 F 的随机变量构成的矩阵。在游戏过程中，每个玩家随机采取行动，这决定了收益分布 Fij 所在的行和列，收益矩阵 A 属于 Fn×m，其中 n = |PS1|，m = |PS2|。重复游戏时，每一轮都会产生一个不同的随机收益 Rij ∼Fij，其分布取决于所选择的场景 i ∈PS1，j ∈PS2，即有函数 Fij(r) = Pr(Rij ≤r|i, j)。

当玩家采用混合策略时，通过全概率定律可以得到总体期望随机收益 R 的分布：
(F(p, q))(r) = Pr(R ≤r) = ∑i,j Pr(Rij ≤r|i, j) · Pr(i, j) = pT Aq
这里 p, q 是支持在 PS1 和 PS2 上的混合策略（离散分布），并且玩家的行动是随机独立的（例如，没有信号传递）。与经典的重复博弈不同，这里的式(1)优化的是每一轮游戏的“期望收益分布” F(p, q)，它类似于普通游戏以数值收益奖励玩家，而这种形式的游戏则以遵循最优分布的随机收益“平均”奖励玩家。

以博物馆为例，博物馆馆长（玩家 1）试图防止两幅最昂贵的画作被玩家 2 盗窃。馆长指示警