17、分形生成：从静态到动态非线性方程的探索

分形生成：从静态到动态非线性方程的探索

1. 分形生成概述

分形生成是计算机几何与图形领域中一个重要且有趣的问题。自20世纪70年代以来，分形理论和技术不断发展。分形能够揭示微观自计算或自组织的自然或人工架构中出现的混沌现象。许多分形的生成与传统的牛顿迭代法密切相关，该方法用于求解复域中的某些类型的非线性方程，如复根求解、复多项式求解和复指数函数求解等。不同的非线性方程在生成分形时可能会输出不同的图形。

在工程应用中，如机器人技术，许多问题可以抽象为时变数学问题，而非常量数学问题。为了解决这些时变问题，ZD方法应运而生，它可以避免传统算法在解决时变问题时产生的滞后误差。通过对复值连续时间零ing动态（CVCTZD）模型进行离散化，我们可以得到相应的复值离散时间零ing动态（CVDTZD）模型，用于在线解决问题，并且该模型可用于生成与传统或广义牛顿迭代法生成的分形完全不同的新分形。

2. 复值ZD模型

我们考虑复域中的非线性方程 (f(z) = 0 \in C) 来生成新分形，其中 (f(\cdot) : C \to C) 是一个非线性复映射，(z \in C) 是待求解的复值标量。

2.1 CVCTZD模型

为了求解非线性方程 (f(z) = 0)，我们首先定义一个不定复值误差函数 (e(t) = f(z) \in C)。当误差函数 (e(t)) 收敛到零时，(z \in C) 收敛到非线性方程的理论解 (z^*)。为了使误差函数减小到零，我们采用ZD设计公式：
(\dot{e}(t) = -\gamma\varphi(e(t)))，即 (\frac{d f(z)}{dt} = -\gamma\varp