9、时变非线性方程组求解方法探究

时变非线性方程组求解方法探究

1. 问题提出与 CTZD 模型

1.1 问题描述

考虑如下可解的时变非线性方程组：
[f(x(t),t) = 0 \in R^n, t \in [0, +\infty)]
其中 (f(\cdot) : R^n \to R^n) 是可微的非线性映射函数，我们的主要目标是实时找到 (x(t) \in R^n)，使得上述方程组成立。

1.2 CTZD 模型构建

为了监控和控制时变非线性方程组的求解过程，定义向量值不定误差函数：
[e(t) = f(x(t),t) = [f_1(x(t),t), f_2(x(t),t), \cdots, f_n(x(t),t)]^T]
显然，如果 (e(t)) 收敛到零，那么 (x(t)) 收敛到理论解 (x^*(t))。

采用 ZD 设计公式：
[\frac{de(t)}{dt} = -\gamma\Phi(e(t))]
即
[\frac{df(x(t),t)}{dt} = -\gamma\Phi(f(x(t),t))]
其中设计参数 (\gamma > 0)，用于缩放 ZD 模型的收敛速度；(\Phi(\cdot) : R^n \to R^n) 是激活函数向量数组，(\varphi(\cdot)) 是 (\Phi(\cdot)) 的元素，即特定的激活函数。本章使用两种激活函数：
1. 线性激活函数：(\varphi(e_j) = e_j)
2. 幂和激活函数：(\varphi(e_j) = \sum_{\kappa = 1}^{N}e_j^{2\kappa - 1})