4、时变与常数立方根求解的ZD模型研究

时变与常数立方根求解的ZD模型研究

1. 引言

在线求解形如 $x^3(t) - a(t) = 0$ 的时变立方根问题，或 $x^3 - a = 0$ 的常数立方根问题，是科学与工程领域的基础问题，广泛应用于计算机图形学、科学计算以及现场可编程门阵列（FPGA）实现等方面。为解决这些问题，人们提出了许多数值算法。本文将推广、开发并研究连续时间归零动力学（CTZD）模型及其离散时间模型（DTZD），用于实时求解时变立方根问题。同时，还将生成简化的 CTZD（S - CTZD）模型及其离散时间模型（S - DTZD）来求解常数立方根问题。

2. 时变情况下的 ZD 模型

2.1 问题描述

考虑时变立方根问题 $x^3(t) - a(t) = 0$，其中 $a(t) \in R$ 是一个平滑的时变标量，其时间导数 $\dot{a}(t) \in R$ 假定已知或可通过数值测量得到。我们的目标是实时找到 $x(t) \in R$，使上述方程成立。

2.2 CTZD 模型

• 定义误差函数 ：$e(t) = x^3(t) - a(t) \in R$。
• 选择时间导数 ：根据 ZD 设计公式 $\frac{de(t)}{dt} = -\gamma\varphi(e(t))$，其中设计参数 $\gamma > 0$，$\varphi(\cdot) : R \to R$ 为激活函数。
• 推导 CTZD 模型 ：对上述公式展开，得到时变立方根求解的 CTZ