20、因果排序、邻接矩阵及相关证明

因果排序、邻接矩阵及相关证明

在因果关系和图论的研究中，因果排序和邻接矩阵是非常重要的概念，它们为我们理解和分析有向无环图（DAG）提供了有力的工具。同时，一系列相关命题的证明也进一步深化了我们对这些概念的理解和应用。

1. 因果排序与邻接矩阵的基本概念

• 因果排序 ：对于一个有向无环图 (G)，一个双射映射 (\pi : {1, \ldots, p} \to {1, \ldots, p}) 被称为因果排序（有时也称为拓扑排序），如果当 (j \in DE_G(i)) 时，满足 (\pi(i) < \pi(j))。由于有向无环图的无环结构，总是存在拓扑排序，但这种排序不一定是唯一的。其中，节点 (\pi^{-1}(1)) 没有任何父节点，因此是源节点；而 (\pi^{-1}(p)) 没有任何后代节点，因此是汇节点。
• 邻接矩阵 ：一个有 (d) 个节点的有向图 (G = (V, E)) 可以用一个二进制的 (d \times d) 矩阵 (A) 来表示，其中 (A_{i, j} = 1) 当且仅当 ((i, j) \in E)。矩阵 (A) 被称为图 (G) 的邻接矩阵。

2. 邻接矩阵的性质

邻接矩阵有一些有用的性质，这些性质对于算法的高效实现非常有帮助：
- (A^2) 的 ((i, j)) 元素等于从节点 (i) 到节点 (j) 长度为 2 的路径的数量，即 (A^2_{i,j} = \sum_{k} A_{ik}A_{kj})。
- 一般地，(A^k) 的 ((i, j)) 元素等于从节点 (i) 到