18、超越子项收敛等式理论的密码协议验证

超越子项收敛等式理论的密码协议验证

1. 等式理论与依赖图

在密码协议验证中，等式理论起着重要作用。某些规则会限制推导链的长度，但对于等式情况（如 (r = l|p)），“不重复推导同一项”的条件已在生效，不会额外增加限制。一般来说，入侵者推导的终止性难以保证，即使是具有有限变体属性的最优归约收敛重写系统，可推导性问题也是不可判定的。

有一个关键定理表明，模等式理论的依赖图轨迹与正常依赖图的轨迹实际上是重合的。定理内容如下：
对于所有协议规则集 (P)，有 ({trace(dg) | dg \in dgraphs(\lceil P \cup MD \rceil_{CT’} insts) \land dg \downarrow_{CT’}\text{-normal}} = trace(ndgraphs(P)))。

下面是对该定理证明的简要概述：
- 我们需要证明正常和非正常依赖图的轨迹重合。由于协议规则可用于依赖图和正常依赖图，关键在于消息推导。
- 对于构造规则，根据引理 1 总有一个正常版本可用，能让我们以 (K↑) 格式获取所有知识。
- 对于输出需要使用等式理论的情况，我们聚焦于收敛方程的解构规则，因为其他规则在旧证明中已有涵盖。通过推广旧证明，我们可以依据一个引理，即对于任何未知子项，存在一个位置，该位置的子项作为 (K↓) - 事实出现，从而可以应用新的解构规则。
- 对于新限制 (N12)，有趣的情况是在常规依赖图中可以使用解构规则 (n) 次（(n) 为严格子项的数量）进行推导，但在正常依赖图中是禁止的。我们的关键观察是，通过解构规则结构可知所有子项都在 (K↑) 中，因此可以通过应用该运算符的构造规则来创建 (n)