16、可学习类的分裂：对称与非对称特性研究

可学习类的分裂：对称与非对称特性研究

1. 对称类与可学习类分裂的基本概念

在学习理论中，可学习类的分裂是一个重要的研究方向。首先，我们来明确几个关键概念。
- 对称类 ：对于某个约简关系 ⩽r，如果一个类 L 存在分裂，并且对于 L 的任何分裂 L0、L1，都有 L0 ≡r L1 ≡r L，那么称 L 是关于 ⩽r 的对称类。这里的约简关系反映了类之间的复杂度关系。
- 分裂 ：将一个类划分为两个子类的过程。

2. 非常强约简关系相关结果

非常强约简关系（⩽vs）在可学习类的研究中具有重要地位。
- 定理 6 ：存在解释性可学习类 L 和 H，使得 L ⩽strong H 但 L ≰vs H。
- 证明过程 ：
- 选取明显可解释学习的类：
- (L = { {n} : n \in N})
- (H = { {0, 1, \ldots, n} : n \in N})
- 定义递归算子 Γ，它将文本中每个 n 替换为序列 0, 1, …, n，从而将 L 中语言的文本转换为 H 中语言的文本。
- 定义递归算子 Θ，当序列 E 语法收敛到索引 e 且 We 有最大值 n 时，Θ(E) 收敛到某个索引 m 使得 Wm = {n}。
- 通过反证法证明 L ≰vs H。假设 L ⩽vs H，会得出停机问题是递归的矛盾结论。
- 定理 7 ：若 L 和