USACO--2.4Cow Tours

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本文介绍了一种在图论中优化最小距离最大值的方法，通过并查集和Floyd算法，实现了时间复杂度从n^7降低到n^3的高效解决方案。

题目大意：一个图被分成若干个连通块，我们可以选择在这些连通块中增加一条边，求加边以后所有点最小距离最大值最小的情况(有些绕口~)。
思路：最暴力的思路就是依次枚举需要连边的连通块然后再枚举这两个连通块中需要连接的定点，然后再用Floyd算出所有点的最小距离，然后再求最大值。这样时间复杂度是n^7，肯定会超时。仔细想一下我们其实并不关心我们枚举的边是属于哪个连通块的，我们只需要保证枚举的边不在同一个连通块中就行了。所以我们可以只枚举那么不在同一个连通块中的边，然后重新求一下所有点的最短路，然后再求出最大值。这样时间复杂度是n^5，还是会超时的。
但是其实我们不需要每次都重新调用Floyd求一次最小距离；考虑两个连通块C1,C2,我们选一条边e(i,j)将他们连起来那么在新形成的连通块中最小距离的最大值应为(i到中C1点距离的最大值)+dist[i,j]+(j到C2中点距离的最大值)。所以如果我们提前将每个点到其所在连通块中其它点最小距离的最大值处理出来的话，我们在枚举边以后就不要重新计算所有点之间的最小距离了。时间复杂度n^3，n最大为150，完全可以接受。
至于枚举每条边的时候需要保证其顶点不在同一个连通块中，我们可以用并查集来实现。

代码如下：

/*
ID:15674811
LANG:C++
PROG:cowtour
*/

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
using namespace std;

#define INF 0x3f3f3f3f
#define maxn 155

double d[maxn][maxn];
int n,m[maxn][maxn];
int fa[maxn];

int Find(int x)
{
    return fa[x]==x?x:fa[x]=Find(fa[x]);
}

void Merge(int x,int y)
{
    int fx=Find(x);
    int fy=Find(y);
    if(fx!=fy)
    {
        fa[fx]=fy;
    }
}

void floyd()
{
    for(int k=1;k<=n;k++)
        for(int i=1;i<=n;i++)
          for(int j=1;j<=n;j++)
          {
              if(d[i][j]>d[i][k]+d[k][j])
                 d[i][j]=d[i][k]+d[k][j];
          }
}

double dist(double x1,double y1,double x2,double y2)
{
    double xx=(x1-x2)*(x1-x2);
    double yy=(y1-y2)*(y1-y2);
    return sqrt(xx+yy);
}

double dx[maxn],dy[maxn];
double v[maxn];

void print()
{
    for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
                if(d[i][j]!=INF+0.0)
                   printf("%5.4lf ",d[i][j]);
                else
                   printf("0 ");
            printf("\n");
        }
}

int main()
{
    freopen("cowtour.in","r",stdin);
    freopen("cowtour.out","w",stdout);
    while(scanf("%d\n",&n)!=EOF)
    {
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            for(int j=1;j<=n;j++)
               d[i][j]=INF+0.0;
            d[i][i]=0.0;
        }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            fa[i]=i;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            scanf("%lf%lf\n",&dx[i],&dy[i]);
        for(int i=1;i<=n;i++,getchar())
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                m[i][j]=getchar()-'0';
                if(m[i][j])
                    Merge(i,j);
            }
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(m[i][j])
                   d[i][j]=dist(dx[i],dy[i],dx[j],dy[j]);
            }
       // print();
        floyd();
        //print();
        double tmp=0.0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
        {
            double Max=0.0;
            for(int j=1;j<=n;j++)
            {
                if(d[i][j]!=(INF+0.0)&&Max<d[i][j])
                     Max=d[i][j];
                if(d[i][j]!=INF)
                     tmp=max(tmp,d[i][j]);
            }
            v[i]=Max;
        }
      /*  for(int i=1;i<=n;i++)
            printf("%.4lf ",v[i]);
        printf("\n");*/
        double ans=INF+0.0;
        for(int i=1;i<=n;i++)
            for(int j=i+1;j<=n;j++)
            {
                int fx=Find(i);
                int fy=Find(j);
                if(fx!=fy)
                {
                    ans=min(ans,v[i]+v[j]+dist(dx[i],dy[i],dx[j],dy[j]));
                }
            }
        ans=max(ans,tmp);
        printf("%.6lf\n",ans);
    }
  return 0;
}