51nod1284 2 3 5 7的倍数

该博客介绍了如何利用数学中的容斥定理来解决找出2, 3, 5, 7的倍数的问题。题目属于1级难度的算法题,要求在特定时间限制和空间限制下完成。博客中提到,容斥定理可以用来计算多个集合并集的大小,并给出了公式:I = n总-(a+b+c-ab-bc-ac+abc)。此外,博主还推荐了一个关于容斥定理的外部资源链接。" 119253382,11298745,华为云微认证:构建无缝服务器容灾系统,"['云计算', '服务器管理', '负载均衡', '故障转移', '分布式系统']

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2 3 5 7的倍数

基准时间限制:1 秒 空间限制:131072 KB 分值: 5 难度:1级算法题 

给出一个数N,求1至N中,有多少个数不是2 3 5 7的倍数。 例如N = 10,只有1不是2 3 5 7的倍数。

Input

输入1个数N(1 <= N <= 10^18)。

Output

输出不是2 3 5 7的倍数的数共有多少。

Input示例

10

Output示例

1


数学上的容斥定理的应用:I = n总-(a+b+c-ab-bc-ac+abc)

关于容斥定理: 要计算几个集合并集的大小,我们要先将所有单个集合的大小计算出来,然后减去所有两个集合相交的部分,再加回所有三个集合相交的部分,再减去所有四个集合相交的部分,依此类推,一直计算到所有集合相交的部分。

在这里附一个个人觉得不错的博客:http://www.cppblog.com/vici/archive/2011/09/05/155103.html

#include <iostream>

using namespace std;

long long n,num,a,b,c,d,ab,ac,ad,bc,bd,cd,abc,abd,bcd,acd,abcd;

int main()
{
	cin>>n;
	
	num=0;

	a=n/2;
	b=n/3;
	c=n/5;
	d=n/7;
	
	ab=n/6;
	ac=n/10;
	ad=n/14;
	bc=n/15;
	bd=n/21;
	cd=n/35;

	abc=n/30;
	abd=n/42;
	acd=n/70;
	bcd=n/105;

	abcd=n/210;

	num=a+b+c+d-ab-ac-ad-bc-bd-cd+abc+abd+acd+bcd-abcd;
	
	cout<<n-num<<endl;
	return 0;
}


### 关于51Nod 3100 上台阶问题的C++解法 #### 题目解析 该题目通常涉及斐波那契数列的应用。假设每次可以走一步者两步,那么到达第 \( n \) 层台阶的方法总数等于到达第 \( n-1 \) 层和第 \( n-2 \) 层方法数之和。 此逻辑可以通过动态规划来解决,并且为了防止数值过大,需要对结果取模操作(如 \( \% 100003 \)[^1])。以下是基于上述思路的一个高效实现: ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 100003; long long f[100010]; int main() { int n; cin >> n; // 初始化前两项 f[0] = 1; // 到达第0层有1种方式(不移动) f[1] = 1; // 到达第1层只有1种方式 // 动态规划计算f[i] for (int i = 2; i <= n; ++i) { f[i] = (f[i - 1] + f[i - 2]) % MOD; } cout << f[n] << endl; return 0; } ``` 以上代码通过数组 `f` 存储每层台阶的结果,利用循环逐步填充至目标层数 \( n \),并最终输出结果。 --- #### 时间复杂度分析 由于仅需一次线性遍历即可完成所有状态转移,时间复杂度为 \( O(n) \)。空间复杂度同样为 \( O(n) \),但如果优化存储,则可进一步降低到 \( O(1) \): ```cpp #include <iostream> using namespace std; const int MOD = 100003; int main() { int n; cin >> n; long long prev2 = 1, prev1 = 1, current; if (n == 0 || n == 1) { cout << 1 << endl; return 0; } for (int i = 2; i <= n; ++i) { current = (prev1 + prev2) % MOD; prev2 = prev1; prev1 = current; } cout << prev1 << endl; return 0; } ``` 在此版本中,只保留最近两个状态变量 (`prev1`, `prev2`) 来更新当前值,从而节省内存开销。 --- #### 输入输出说明 输入部分接受单个整数 \( n \),表示台阶数量;程序会返回从地面走到第 \( n \) 层的不同路径数目,结果经过指定模运算处理以适应大范围数据需求。 ---
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