96. Unique Binary Search Trees

Given n, how many structurally unique BST's (binary search trees) that store values 1...n?

For example,
Given n = 3, there are a total of 5 unique BST's.

   1         3     3      2      1
    \       /     /      / \      \
     3     2     1      1   3      2
    /     /       \                 \
   2     1         2                 3



分析：
注意：二分查找树的定义是，左子树节点均小于root，右子树节点均大于root！不要想当然地将某个点作为root时，认为其他所有节点都能全部放在left/right中，除非这个点是 min 或者 max 的。

分析：本题其实关键是递推过程的分析，n个点中每个点都可以作为root，当 i 作为root时，小于 i  的点都只能放在其左子树中，大于 i 的点只能放在右子树中，此时只需求出左、右子树各有多少种，二者相乘即为以 i 作为root时BST的总数。
如果把上例的顺序改一下，就可以看出规律了。

比如，以 1 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 0 个元素的树，右子树是 2 个元素的树。
以 2 为根的树的个数，等于左子树的个数乘以右子树的个数，左子树是 1个元素的树，右子树也是 1 个元素的树。依此类推。
当数组为 1; 2; 3; .....; n 时，基于以下原则的构建的 BST 树具有唯一性：以 i 为根节点的树，其左子树由 [1, i-1] 构成，其右子树由 [i+1, n] 构成。
定义 f (i) 为以 [1; i] 能产生的 Unique Binary Search Tree 的数目，则
如果数组为空，毫无疑问，只有一种 BST，即空树，f (0) = 1。
如果数组仅有一个元素 1，只有一种 BST，单个节点，f (1) = 1。
如果数组有两个元素 1,2，那么有如下两种可能

f (2) = f (0) * f (1) ，1 为根的情况
        + f (1) * f (0) ， 2 为根的情况

再看一看 3 个元素的数组，可以发现 BST 的取值方式如下：
f (3) =    f (0) * f (2) ，1 为根的情况
           + f (1) * f (1) ，2 为根的情况
           + f (2) * f (0) ，3 为根的情况

所以，由此观察，可以得出 f 的递推公式为

至此，问题划归为一维动态规划。

ac代码：
class Solution {
public:
    int numTrees(int n) {
        vector<int>v(n+1,0);
        v[0]=1;
        v[1]=1;
        int i,j;
        for(i=2;i<=n;i++)
        {
            for(j=0;j<i;j++)
            {
                v[i]+=v[j]*v[i-j-1];
            }
        }
        return v[n];
    }
};