01背包

最新推荐文章于 2022-07-20 19:41:32 发布

「已注销」

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本文链接：https://blog.youkuaiyun.com/acdalao/article/details/89334553

本文介绍了一个经典的背包问题求解方法，通过动态规划算法实现。详细解释了如何利用二维数组dp[][]来存储每一步的最佳选择，并逐步优化到一维数组dp[]以减少空间复杂度。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

描述：

现有n个物体和容量为V的背包，每个物体i都有对应的重量w[i]和价值v[i]，每个物体最多拿一次，在所取物体总重量不超过V的情况下，能获得的最大价值是多少？

分析

每个物体只有拿和不拿两种情况，则在选择是否拿第i件时，在之前已确定部分的基础上进行比较判断即可
申请一个二维数组dp[][]，用dp[i][j]来表示在物品数量为i，总重量为j的条件下能达到的最大价值，那么dp[i][j]的值为：最后dp[n][V]即为答案

Code

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=V;j>0;j--)
    {
        if(a[i]<=j)f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-w[i]]+v[i]);			
        else f[i][j]=f[i-1][j];
        //f[i-1][j]没拿时的价值,f[i-1][j-a[i]]+b[i]拿了之后的价值 
        //i为前i个物体，j为剩余背包空间 
    }

优化

前面的代码在时间复杂度上已经无法继续优化，但是在空间复杂度上，因为我们只需要最多取n个的答案，所以我们可以在dp[i][j]的基础上去掉物体数这一维，那么dp[j]的值就为：

Code

1
2
3

for(int i=1;i<=n;i++)
    for(int j=V;j>=w[i];j--)
        dp[j]=max(dp[j] , dp[j-w[i]]+v[i]);

注意

在遍历重量的时候是V->w[i]，并不是w[i]->V，其原因是：第i个物体的状态只与i-1有关，我们在操作dp[j]的时候必须保证dp[j-w[i]]是上一次操作后的结果，如果从w[i]->V，那么dp[j-w[i]]的值在操作dp[j]之前就已经发生了改变，里面存的不是i-1时刻的值
数组dp的值要全部初始化为0