为什么沿梯度反方向下降最快

梯度下降原理的数学推导

1. 定义当前点：
   设当前点为 ${\theta }_0$，在这个点计算目标函数$J(\theta )$ 的梯度 $\nabla J({\theta }_0)$。

2. 更新规则：
   根据梯度下降的更新规则，新的点 ${\theta }_1$ 可以表示为：
   ${\theta }_1={\theta }_0-ϵ\nabla J({\theta }_0)$，
   其中，$ϵ$ 为学习率。

3. 泰勒展开：
   通过泰勒展开近似 $J(\theta )$ 在 ${\theta }_0$ 处的值，可以得到： $J({\theta }_1)$
   $J({\theta }_1)\approx J({\theta }_0)+\nabla J({\theta }_0{)}^T({\theta }_1-{\theta }_0)$。

4. 代入新的点：
   根据梯度下降更新公式，新的点 ${\theta }_1$ 可以表示为：
   ${\theta }_1={\theta }_0-ϵ\nabla J({\theta }_0)$。

   代入 ${\theta }_1-{\theta }_0$ 的值：
   $J({\theta }_1)\approx J({\theta }_0)+\nabla J({\theta }_0{)}^T(-ϵ\nabla J({\theta }_0))$。

5. 计算内积：
   $\nabla J({\theta }_0{)}^T(-ϵ\nabla J({\theta }_0))$ 是一个内积，表示梯度向量的平方范数乘以 $-ϵ$：
   $\nabla J({\theta }_0{)}^T(-ϵ\nabla J({\theta }_0))=-ϵ\Vert \nabla J({\theta }_0){\Vert }^2$。

6. 函数值变化：
   代入内积的结果到泰勒展开式中：
   $J({\theta }_1)\approx J({\theta }_0)-ϵ\Vert \nabla J({\theta }_0){\Vert }^2$。
   这表示$-\nabla J({\theta }_0)$ 方向移动一小步 $ϵ$后，函数值减少的量为$ϵ\Vert \nabla J({\theta }_0){\Vert }^2$。

为什么是最快的？

为了更直观地理解，我们可以从方向导数的角度来看：

1. 方向导数：
   方向导数表示函数在某一特定方向上的变化率。梯度的一个重要性质是，梯度的方向是使函数值增长最快的方向。相反，梯度的反方向则是使函数值下降最快的方向。具体而言，在一个点 ${\theta }_0$ 处，函数 $J(\theta )$ 在任意方向 $\mathbf{d}$ 上的方向导数 $D_{\mathbf{d}}J({\theta }_0)$定义为：
   $D_{\mathbf{d}}J({\theta }_0)=\nabla J({\theta }_0{)}^T\mathbf{d}$。

2. 梯度反方向：
   梯度反方向 $\mathbf{d}=-\nabla J({\theta }_0)$是函数值下降最快的方向。计算沿此方向的方向导数：
   $D_{-\nabla J({\theta }_0)}J({\theta }_0)=\nabla J({\theta }_0{)}^T(-\nabla J({\theta }_0))=-\Vert \nabla J({\theta }_0){\Vert }^2$。

   这意味着在该方向上，函数值的变化速率是最大的（负号表示减少）。

与其他方向的比较

假设我们选择任意一个方向$\mathbf{d}$，其方向导数为：
$D_{\mathbf{d}}J({\theta }_0)=\nabla J({\theta }_0{)}^T\mathbf{d}$。
如果 $\mathbf{d}$ 与$\nabla J({\theta }_0)$ 的夹角不为 180 度，内积 $\nabla J({\theta }_0{)}^T{D}_{\mathbf{d}}$ 的绝对值小于 $\Vert \nabla J({\theta }_0){\Vert }^2$。因此，沿着其他方向的函数值减少量不如沿 $-\nabla J({\theta }_0)$方向的减少量大。

结论

沿着 $-\nabla J({\theta }_0)$ 方向移动，使函数值减少的量是 $ϵ\Vert \nabla J({\theta }_0){\Vert }^2$，这是在当前点处函数值下降最快的方向。任何其他方向的减少量都不会超过这一量值。这正是梯度下降法的核心思想，利用梯度信息确保每次迭代都能最大程度地降低目标函数的值。

补充

方向导数的推导过程

方向导数（Directional Derivative）用于衡量在给定方向上的函数的变化率。设 $f(x,y)$ 是一个二元函数，向量 $\mathbf{v}=(a,b)$ 是一个单位向量，我们希望在这个方向上计算函数 $f$的导数。推导方向导数的过程如下：

1. 定义方向导数

设 $\mathbf{u}$是方向向量 $\mathbf{v}$的单位向量，即 $\mathbf{u}=\frac{\mathbf{v}}{|\mathbf{v}|}$。方向导数

$D_{\mathbf{u}}f$在点 $(x_0,y_0)$ 处定义为：

$D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+ha,y_0+hb)-f(x_0,y_0)}{h}$

2. 函数在单位向量方向上的变化

考虑沿单位向量$\mathbf{u}$ 移动一个小步长$h$，则新的点坐标为 $(x_0+ha,y_0+hb)$。我们用泰勒展开公式近似$f(x_0+ha,y_0+hb)$：

$f(x_0+ha,y_0+hb)\approx f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot ha+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot hb$

3. 计算极限

将泰勒展开公式代入方向导数的定义：
$D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)={\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0+ha,y_0+hb)-f(x_0,y_0)}{h}$

$\approx {\lim }_{h\to 0}\frac{f(x_0,y_0)+\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)\cdot ha+\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)\cdot hb-f(x_0,y_0)}{h}$

= ${\lim }_{h\to 0}\frac{ha\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+hb\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)}{h}$

= a$\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+b\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

4. 方向导数的公式

因此，函数$f$在点 $(x_0,y_0)$ 处沿方向 $\mathbf{u}=(a,b)$的方向导数为：

$D_{\mathbf{u}}f(x_0,y_0)=a\cdot \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)+b\cdot \frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)$

这个公式表明，方向导数可以通过梯度 $\nabla f=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)$ 与方向向量 $\mathbf{u}$的点积来计算：

$D_{\mathbf{u}}f=\nabla f\cdot \mathbf{u}=\left(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y}\right)\cdot (a,b)$

总结

方向导数测量了函数在特定方向上的变化率。其计算过程是通过梯度与方向向量的点积来实现的。在具体的应用中，只需知道函数的偏导数和方向向量，就可以方便地计算出方向导数。