LeetCode 1025.除数博弈

LeetCode 1025.除数博弈

题目:

爱丽丝和鲍勃一起玩游戏，他们轮流行动。爱丽丝先手开局。

最初，黑板上有一个数字 n 。在每个玩家的回合，玩家需要执行以下操作：

选出任一 x，满足 $0<x<n$ 且 n % x = 0。
用 $n-x$ 替换黑板上的数字 n 。
如果玩家无法执行这些操作，就会输掉游戏。

只有在爱丽丝在游戏中取得胜利时才返回 true 。假设两个玩家都以最佳状态参与游戏。

示例 1：

输入：n = 2
输出：true
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃无法进行操作。

示例 2：

输入：n = 3
输出：false
解释：爱丽丝选择 1，鲍勃也选择 1，然后爱丽丝无法进行操作。

提示：

$1<=n<=1000$

暴力枚举:

定义$dp[i]$为$n=i$时 我们输赢的状态 $dp[i]=1$时 先手必赢 $dp[i]=-1$时 先手必输

初始化$dp[1]=-1$,然后开始循环枚举所有的,遇到$-1$说明当前状态先手必赢,否则必输

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int n) {
        int dp[1010]={0,-1};
        for(int i=2;i<=n;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){
                dp[i]=-1;
                if(i%j==0&&dp[i-j]==-1){
                    dp[i]=1;
                    break;
                }
            }
        }
        return dp[n]==1;
    }
};

数学思路:

枚举找规律

$n=1:$ x∈{∅}x\in\lbrace \emptyset \rbracex∈{∅} 没有东西可以拿,我们先手开局必输,也就是谁拿到$1$谁输 $X$

$n=2:$ x∈{1}x∈\lbrace 1 \rbracex∈{1} $x$只能选$1$,也就是让对面拿到$1$,对面必输,那么我们就必赢 $\surd$

$n=3:$ x∈{1}x∈\lbrace 1 \rbracex∈{1} $x$还是只能选$1$,那么对面是$2$,我们必输,谁拿到$3$ 谁输 $X$

$n=4:$ x∈{1,2}x∈\lbrace 1,2 \rbracex∈{1,2} $x$能选$1$或$2$, 选$1$的话对面是$3$,对面必输 $\surd$

$n=5:$ x∈{1}x∈\lbrace 1 \rbracex∈{1} $x$只能选$1$,对面得到$4$,因为$4$必赢,所以我们必输 $X$

$n=6:$ x∈{1,2,3}x∈\lbrace 1,2,3 \rbracex∈{1,2,3} $x$选$1$,对面拿到$5$,因为$5$先手必输 所以先手$6$必赢 $\surd$

不难发现,当先手为偶数时,必赢,否则必输

证明:

因为已经枚举出来$n=2$时,先手必赢,所以我们只要保证最后我们一定能拿到$2$就能赢

当我们拿到偶数先手时,因为$1$是所有正整数的公因数,我们只需要让当前的偶数减一变奇数

那么对面拿到的一定是奇数

又因为只有 $奇数\ast 奇数=奇数$ ,那么对面拿到的$n$的所有因数一定是奇数

$奇数-奇数=偶数$,那么我们再一次得到的$n$一定是偶数

那么我们一定能得到最小的偶数$2$,那样我们就必胜了

class Solution {
public:
    bool divisorGame(int n) {
        return !(n%2);
    }
};