LeetCode 312.戳气球

LeetCode 312.戳气球

题目:

有 $n$个气球，编号为$0$ 到 $n-1$，每个气球上都标有一个数字，这些数字存在数组 $nums$ 中。

现在要求你戳破所有的气球。戳破第 $i$ 个气球，你可以获得 $nums[i-1]\ast nums[i]\ast nums[i+1]$ 枚硬币。 这里的 $i-1$ 和 $i+1$ 代表和 $i$ 相邻的两个气球的序号。如果 $i-1$或 $i+1$ 超出了数组的边界，那么就当它是一个数字为 $1$ 的气球。

求所能获得硬币的最大数量。

示例 1：

输入：nums = [3,1,5,8]
输出：167
解释：
nums = [3,1,5,8] --> [3,5,8] --> [3,8] --> [8] --> []
coins =  3*1*5    +   3*5*8   +  1*3*8  + 1*8*1 = 167

示例 2：

输入：nums = [1,5]
输出：10

思路:

先初始化数组 在左右端点加上$1$

$[3,1,5,8]=>[1,3,1,5,8,1]$

枚举除开左右端点的所有气球,哪一个是留到最后的

假设$5$留到最后

那么最后的样子应该是
$$[1,5,1]$$
价值就是$1\ast 5\ast 1$

$5$左右两边的气球一个最先被打爆

整个区间就被分为两个

就是区间$[1,3,1,5]$的值加上$[5,8,1]$的值

接着继续递归求左右区间的值即可

循环枚举哪个气球最后被打爆,取最大值就是获得硬币的最大数量

class Solution {
public:
    int dp(int l, int r, int arr[], int f[][310]) {
        if (f[l][r] != -1) return f[l][r];
        //枚举最后一个被打爆的气球
        int M = 0;
        for (int k = l + 1; k < r; k++) {
            M = max(M, arr[l] * arr[r] * arr[k] + dp(l, k, arr, f) + dp(k, r, arr, f));
        }
        return f[l][r] = M;
    }

    int maxCoins(vector<int> &nums) {
        int f[310][310] = {0};
        memset(f, -1, sizeof(f));
        int n = nums.size();
        int arr[310];
        arr[0] = arr[n + 1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1];
        return dp(0, n + 1, arr, f);
    }
};

动态规划:

设$dp[i][j]$是区间$i->j$获得硬币的最大值
$$\begin{gathered} dp[i][j]=nums[i]\ast nums[j]\ast nums[k]+dp[i][k]+dp[k][j] \\ (i<k<j) \end{gathered}$$
其中$k$是枚举区间$i->j$中最后一个被打爆的气球的下标

所以我们按区间长度从小到大枚举

最后$dp[0][n]$就是区间最大值

class Solution {
public:
    int maxCoins(vector<int> &nums) {
        int n = nums.size();
        int arr[310];
        arr[0] = arr[n + 1] = 1;
        for (int i = 1; i <= n; i++) arr[i] = nums[i - 1];
        int dp[310][310] = {0};
        n++;
        for (int i = 1; i <= n; i++) {
            for (int j = 0; j <= n; j++) {
                int l = j, r = j + i;
                if (r > n) continue;
                int M = 0;
                for (int k = l + 1; k < r; k++) {
                    M = max(M, arr[r] * arr[k] * arr[l] + dp[l][k] + dp[k][r]);
                }
                dp[l][r] = M;
            }
        }
        return dp[0][n];
    }
};