12、高置信度的模 4 余 1 整数的概率素性测试

高置信度的模 4 余 1 整数的概率素性测试

在数论领域，素性测试是一个重要的研究方向。本文将详细介绍一种针对模 4 余 1 整数的高置信度概率素性测试方法，包括其原理、性能分析以及概率估计等方面。

1. 算法基础与相关定义

• epsp 与 spsp 的关系 ：对于满足 $\left(\frac{a}{n}\right)= - 1$ 的情况，任何 epsp(a) 实际上已经是 spsp(a)。
• Atkin 算法 ：当 $d = 1$ 时，上述算法由 Atkin 提出，它构成了一种针对 $n\equiv5\pmod{8}$ 素数的确定性开方算法。
• 推论 1 ：若一个合数 $n$ 通过了所提出的测试，在 $n\equiv5\pmod{8}$ 的开方算法中，有 $\alpha(P, Q)^{\frac{n + 1}{2}}\equiv\pm a^{\frac{n + 1}{2}}\pmod{n}$；在基于 Shanks 的开方算法中，该值同余于 $\pm a\pmod{n}$。并且在两种情况下，都有 $\alpha(P, Q)^{n + 1}\equiv\alpha(P, Q)^{n + 1}\equiv Q\pmod{n}$。

2. 性能分析

2.1 QF - 基于部分的评估

QF 部分可以仅通过 $V$ - 函数进行评估。利用恒等式 $V_{2k}(P, 1)=V_{k}(P, 1)^2 - 2$ 和 $V_{2k + 1}(P, 1)=V_{k}(P, 1)V_{