11、针对 n ≡ 1 mod 4 的高置信度可能素数测试

针对 n ≡ 1 mod 4 的高置信度可能素数测试

1. 引言

在大多数密码学应用中，大素数至关重要。常见的概率素性测试方法是强费马测试（米勒 - 拉宾测试），它通过检验 $a^s \equiv 1$ 或 $a^{2^js} \equiv -1 \mod n$（其中 $n - 1 = 2^rs$，$s$ 为奇数，$0 \leq j \leq r - 1$）来判断。然而，该测试存在伪素数问题，即某些合数会被误判为素数。

在典型的密码学场景中，恶意方可能会将合数伪装成素数出售，这会危及协议的安全性。虽然米勒 - 拉宾测试对于随机输入的平均数字表现良好，但由于伪素数可被构造，人们希望尽量降低买到合数而非素数的风险。

目前存在一些确定性素性测试算法，但它们需要复杂的理论和实现。而伪素性测试方法速度更快且更易实现。本文提出了一种新的可能素数测试方法，它比之前的方法更可靠，且比确定性测试更容易描述和实现。

2. 提出的测试方法

该测试结合了米勒 - 拉宾测试和二次域（QF）相关的测试。对于 $n \equiv 1 \mod 4$ 的情况，引入了另一种平方根查找算法，这是对 $n \equiv 3 \mod 4$ 情况的补充。

测试步骤如下：
1. 预计算 ：
- 如果 $n$ 能被小于等于 $\min {B, \sqrt{n}}$（$B = 50000$）的素数整除，则判定 $n$ 为合数并停止。
- 如果 $\sqrt{n}$ 是整数，则判定 $n$ 为合数并停止。
2. 参数选择 ：随机选择 $P \in Z