13、高置信度素性测试与特征 2 有限域离散对数计算

高置信度素性测试与特征 2 有限域离散对数计算

1. 高置信度素性测试

在素性测试中，当(\omega(n) = 2)时，我们区分以下几种情况：
- 情况一 ：假设对于某个整除(n)的素数(p)，有(2^{\nu(n)+2}\mid p - 1)，那么(2^{\nu(n)-1}\gcd(s, p - 1) \leq (p - 1)/8)，从而(\varphi(n)/(2^{#S_{-1}(n)}) \geq 1/2 \cdot (2 \cdot 8) = 8)。
- 情况二 ：设对于某个整除(n)的素数(p)，有(2^{\nu(n)+\delta}\mid p - 1)，其中(\delta)等于(0)或(1)。将两个素数写成(p_1 = 2^{\nu(n)+\delta}t_1 + 1)和(p_2 = 2^{\nu(n)}t_2 + 1)的形式。
- 当(t_1 \neq t_2)时，(t_1\mid s)和(t_2\mid s)不可能同时成立。这意味着对于至少一个(p_i)，(\gcd(s, p_i - 1) \leq t_i/3)。
- 若(\delta = 0)，则(\varphi(n)/(2^{#S_{-1}(n)}) \geq 1/2 \cdot (2 \cdot 6) = 6)；若(\delta = 1)，会引入一个额外的因子(2)，使得(\varphi(n)/(2^{#S_{-1}(n)}) \geq 12)。
- 特殊情况 ：当(p_1 = 2^kt + 1)且(p_2 = 2^{k + 1}t + 1)时，(t\mid s)，此时由于(2^