模拟退火

模拟退火，算法如其名，真的就是个大模拟，模拟的是高温物体徐徐降温然后达到结晶态的过程，结晶态是内能最低的状态，而我们利用模拟退火，要找的也正是最值。

过程

模拟退火一般是用于在一个函数上找最值，也可以干一些奇奇怪怪的事情，这里就以函数为例子了。

既然是模拟退火，肯定要有个温度呀！所以要有一个温度 T，以及还要有个初始点 x，我们再给定一个跳跃的范围 dir（$dir$ 因题目而异，你也可以用 $T$ 来代替 $dir$，但个人认为 $dir$ 根据题目手动设定比较好）就可以开始退火了。

为了方便，我们设问题是：要在一个函数上找最大值。

因为要退火，所以温度要降低，因为是徐徐降温，所以 $T$ 减小得要慢。于是我们设一个 $\delta$，每次使 $T\ast \delta$ 即可。（$\delta$ 一般是一个 $0.95$ ~ $0.99$ 间的小数）

每次在 $[x-dir,x+dir]$ 这个范围内随机找一个点 $x^{\prime }$，（下文为了方便，将当前点的值设为 $y$，$x^{\prime }$ 点的值为 $y^{\prime }$）假如 $y>y^{\prime }$，那么就贪心地跳过去（即 $x=x^{\prime }$），否则，就按照一定的几率，决定是否跳过去，这个奇妙几率的计算公式是这样的：
$$e^{(y-y^{\prime })/T}$$

至于这个公式怎么来的，还是去研究研究热力学吧。。

可以发现，当温度越来越低时，这个几率也会越来越小，那么在最后就有很大几率停在最优解上了。

但是为了防止最后还在往一些奇奇怪怪的地方跑，可以考虑记录沿途经过的所有点中的最优解。

并且因为这是个随机算法，所以为了保证正确率，多退几次火就好了。

代码如下：

#define delta 0.99
#define del 0.995
void fire()
{
    double T=100;
    double x=l+(r-l)*((double)rand()/RAND_MAX),xx=kk(x),dir=(r-l)/2;
	//x为初始点，这个点在l~r范围内随机选一个，设kk()为求值函数
    while(T>1e-4)
    {
        double y=(double)rand()/RAND_MAX*(dir*2.0)+x-dir;
        if(y>r||y<l)continue;//如果越界就不要了
        double yy=kk(y);
        if(yy>xx)x=y,xx=yy;
        else if(exp((xx-yy)/T)>(double)rand()/RAND_MAX)x=y,xx=yy;
        T*=delta;dir*=del;
        //dir要和T一样慢慢减小，防止搜到最大值附近之后还乱跑
   		if(xx>anss)ans=x,anss=xx;//记录答案
    }
}