扩展欧几里得算法——exgcd

扩展欧几里德算法是用来在已知$a,b$求解一组$x,y$，使它们满足贝祖（裴蜀）等式： $ax+by=\gcd (a,b)=d$

关于贝祖等式

试着来搞一下

$ax+by=\gcd (a,b)$

先考虑一下特殊情况，如果 $b=0$，那么 $\gcd (a,b)=a$，并显然存在一组解 $x=1,y=0$

设当前的式子为 $a{x}_1+b{y}_1=gcd(a,b)$，肯定存在式子 $b{x}_2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y_2=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$

根据欧几里得算法，$\gcd (a,b)=\gcd (b,a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)$

$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b)y_2$

$\because a\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}b=a-a÷b\times b$

$\therefore a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+(a-a÷b\times b)y_2$
    $a{x}_1+b{y}_1=b{x}_2+a{y}_2-a÷b\times b\times y_2$
    $a{x}_1+b{y}_1=a{y}_2+b(x_2-a÷b\times y_2)$

$\therefore x_1=y_2,y_1=x_2-a÷b\times y2$

于是就可以愉快的递推下去了

代码很短：

int exgcd(int a,int b,long long &x,long long &y)
{
    if(b==0)return x=1,y=0,a;
    int d=exgcd(b,a%b,y,x);//d的值实际上就是gcd(a,b)，如果不需要的话可以不求
    return y-=a/b*x,d;
}

顺便普及一下逗号运算符,：在C++中，(a,b,c)==c。也就是说，一堆表达式用逗号连接起来，他们的值就是最后一个表达式的值（巧妙的使用可以使得代码复杂度降低）

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当然exgcd不可能只有这么点用途呀，它还可以用来求逆元，并且比用费马小定理求更方便，比如求 $a$ 在模 $p$ 意义下的逆元，如果用费马小定理求的话，还要保证 $p$ 是个质数，但是用exgcd就不用了。

怎么求呢？

设 $x$ 为 $a$ 在模 $p$ 意义下的逆元，那么满足式子：
$ax\equiv 1(\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}m)$

那么有：

$ax+my=1$

然后用 $exgcd$ 搞出 $x$ 即可（以及这就是为什么 $a$ 和 $m$ 一定要互质 才能使得 $a$ 在模 $m$ 意义下有逆元）

以及逆元的代码在此：

long long inv(long long a,long long m)
{
    long long x,y;
    long long d=exgcd(a,m,x,y);
    return d==1?(x+m)%m:-1;//不互质就没有逆元
}