洛谷 P3802 小魔女帕琪题解

最新推荐文章于 2025-01-18 01:10:14 发布

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本文探讨了一道关于777种物品排列组合的问题，通过解析相邻七个不同物品出现的概率，利用组合数学原理，详细阐述了如何计算期望触发帕琪七重奏次数的方法。

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题目大意： 有 $7$ 种物品，第 $i$ 种有 $a_i$ 个，现在这 $n=\sum_{i=1}^7a_i$ 个物品随机排成一列，问期望能触发多少次帕琪七重奏（指相邻的七个物品互不相同）。

题解

大力找规律。

先看前 $7$ 个物品触发的概率（即期望）： $ans_{1}=7!\times \frac {a_1} n\times \frac {a_2} {n-1}\times \frac {a_3} {n-2}\times \frac {a_3} {n-1}\times \frac {a_5} {n-4}\times \frac {a_6} {n-5}\times \frac {a_7} {n-6}$

再看第 $2$ ~ $8$ 个物品，如果他们要触发，那么他们之中肯定有一个物品，它的种类和第 $1$ 个物品相同。

枚举一下就是：

第 $1$ 个物品种类为 $1$ 时： $ans_2=7!\times \frac {a_1} n\times \frac {a_2} {n-1}\times \frac {a_3} {n-2}\times \frac {a_3} {n-1}\times \frac {a_5} {n-4}\times \frac {a_6} {n-5}\times \frac {a_7} {n-6}\times \frac {a_1-1} {n-7}$

第 $1$ 个物品种类为 $2$ 时： $ans_2=7!\times \frac {a_2} n\times \frac {a_1} {n-1}\times \frac {a_3} {n-2}\times \frac {a_3} {n-1}\times \frac {a_5} {n-4}\times \frac {a_6} {n-5}\times \frac {a_7} {n-6}\times \frac {a_2-1} {n-7}$

以此类推。（注意，这里的 $7!$ 是指第 $2$ ~ $8$ 个物品全排列的方案数，不是 $1$ 到 $7$ ）

如果将 $7$ 种情况的最后一项加起来，会发现 $\sum_{i=1}^7\frac {a_i-1} {n-7}=1$ ，所以所有情况的答案加起来就是 $ans_2=7!\times \frac {a_1} n\times \frac {a_2} {n-1}\times \frac {a_3} {n-2}\times \frac {a_3} {n-1}\times \frac {a_5} {n-4}\times \frac {a_6} {n-5}\times \frac {a_7} {n-6}$ ，即 $ans_2=ans_1$ 。

诶，规律来了。

可以发现，到了后面，对于那些种类重复的物品，我们将它放到最后，然后枚举它的所有情况，然后分配率一下就可以把他消掉，这样不断重复，就能得到 $a n s 1$ 。

所以答案就是 $ans1\times (n-6)$ 。

代码如下：

#include <cstdio>

int n=0,a[10];
double ans=1.0;

int main()
{
	for(int i=1;i<=7;i++)
	{
		scanf("%d",&a[i]),n+=a[i];
		if(a[i]==0)return printf("0.000"),0;
	}
	for(int i=1;i<=6;i++)ans*=1.0*a[i]/n,n--;
	ans*=5040.0*a[7]; printf("%.3lf",ans);
}