[JZOJ5250]质数

题目大意

给定$n$，请计算

$$\sum_{i=1}^n2^{\omega(i)}$$
其中$\omega(n)$表示$n$的质因子个数。
答案对$998244353$取模。

$1\le n\le10^{12}$

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题目分析

$\omega(n)$是一个经典的加性函数，我们令$g(n)=2^{\omega(n)}$，它显然是一个积性函数。
考虑$g(n)$的意义，可以得到

$$g(n)=\sum_{d|n}\mu^2(d)\frac nd$$
当然你也可以通过在等式$g*\mu=\mu^2$两边卷上恒等函数$I$来得到这个结论。
那么题目相当于求：
$$\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}\mu^2(d)\frac id$$
和杜教筛里面的变换类似，我们将其变形然后再套用$\mu^2$函数的前缀和公式：
$$\begin{align} \sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^\left\lfloor\frac nd\right\rfloor\mu^2(i)&=\sum_{d=1}^n\sum_{i=1}^{\sqrt{\left\lfloor\frac nd\right\rfloor}}\left\lfloor\frac n{di^2}\right\rfloor\mu(i)\\ &=\sum_{i=1}^{\sqrt n}\mu(i)\sum_{d=1}^\left\lfloor\frac n{i^2}\right\rfloor\left\lfloor\frac n{di^2}\right\rfloor \end{align}$$
我们枚举第一个$i$对后面的那个$\Sigma$分块求解就好了。
时间复杂度
$$T(n)=O\left(\sum_{i=1}^\sqrt n\left\lfloor\frac{\sqrt n}i\right\rfloor\right)=O\left(\sqrt n\log n\right)$$

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>

using namespace std;

typedef long long LL;

const int P=998244353;
const int L=1000000;

int pri[L+5],f[L+5],mu[L+5];
LL n,lim;
int ans;

void pre()
{
    lim=trunc(sqrt(n));
    f[1]=mu[1]=1;
    for (int i=2;i<=lim;++i)
    {
        if (!f[i]) pri[++pri[0]]=f[i]=i,mu[i]=-1;
        for (int j=1,x;j<=pri[0];++j)
        {
            if (1ll*pri[j]*i>lim) break;
            f[x=i*pri[j]]=pri[j],mu[x]=(f[x]==f[i]?0:-1)*mu[i];
            if (!(i%pri[j])) break;
        }
    }
}

int main()
{
    freopen("prime.in","r",stdin),freopen("prime.out","w",stdout);
    scanf("%lld",&n),pre();
    ans=0;
    for (int i=1;1ll*i*i<=n;++i)
    {
        int tmp=0;
        LL upp=n/(1ll*i*i);
        for (LL st=1,en,x;st<=upp;st=en+1) x=upp/st,en=upp/x,(tmp+=1ll*x*((en-st+1)%P)%P)%=P;
        (ans+=(tmp*mu[i]+P)%P)%=P;
    }
    printf("%d\n",ans);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}