[JZOJ5029]围墙

题目大意

给定一个长度为$n$的排列$\{P_i\}(\forall i,P_i\not=i)$，要求构造一种合法的括号序列，满足：
$\bullet$构造一个$n$个点的图，当第$i$个位置是左括号时，存在边$(i,P_i)$，最后形成的图必须满足每个点度数为$1$。
输出任意一种方案即可，数据保证有解。

$1\le n\le100$

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题目分析

显然我们先将所有$(i,P_i)$连上会形成若干个互不连通的简单环，一个简单环只要确定了一个点是左还是右就能确定整个环的状态。那么我们显然可以搜索加判断，因为每个环最小大小是$2$，所以复杂度是$\mathrm O(2^{n/2})$。
考虑怎么优化，可以发现大小为$2$的环其实可以直接根据先后顺序确定填什么。那么我们直接特判掉大小为$2$的环，剩下的环最小大小是$4$（奇数显然无解），于是复杂度降为$\mathrm O(2^{n/4})$。是不是很机智？

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代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int N=105;

int P[N],fa[N],rank[N];
bool seq[N],cet[N];
int n;

int getfather(int son){return fa[son]==son?son:fa[son]=getfather(fa[son]);}

inline int merge(int x,int y)
{
    if (rank[x]>rank[y]) swap(x,y);
    fa[x]=y,rank[y]+=rank[x]==rank[y];
}

inline void go(int x){for (int y=P[x],c=seq[x];x!=y;c=seq[y]=c^1,cet[y]^=1,y=P[y]);}

bool dfs(int x,int sum)
{
    if (sum<0) return 0;
    if (x==n+1) return !sum;
    if (!cet[x])
    {
        /*if (seq[x]=0,go(x),dfs(x+1,sum+(seq[x]?-1:1))) return 1;
        go(x);
        if (P[P[x]]==x) return 0;
        if (seq[x]=1,go(x),dfs(x+1,sum+(seq[x]?-1:1))) return 1;
        return go(x),0;*/
        for (int c=0,y,z,cnt;c<2;++c)
        {
            for (cnt=1,z=seq[x]=c,y=P[x];x!=y;z=seq[y]=z^1,cet[y]=1,y=P[y],++cnt);
            if (dfs(x+1,sum+(seq[x]?-1:1))) return 1;
            if (cnt==2) return 0;
        }
        for (int y=P[x];x!=y;y=P[y],cet[y]=0);
        return 0;
    }else return dfs(x+1,sum+(seq[x]?-1:1));
}

int main()
{
    freopen("wall.in","r",stdin),freopen("wall.out","w",stdout);
    scanf("%d",&n);
    for (int i=1;i<=n;++i) fa[i]=i;
    for (int i=1;i<=n;++i)
    {
        scanf("%d",&P[i]);
        int fx=getfather(i),fy=getfather(P[i]);
        if (fx!=fy) merge(fx,fy);
    }
    dfs(1,0);
    for (int i=1;i<=n;++i) putchar(seq[i]?')':'(');
    printf("\n");
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}