[JZOJ2724]圆

题目大意

给定二维平面中的$n$个圆，第$i$个圆圆心在$(x_i,y_i)$，半径$r_i$，权值$v_i$。任何两个圆都不会相交（也不会相切），但是圆与圆之间可能存在包含关系。当我们在一个圆里面的时候，我们必须经过它的边界一次，才能走出这个圆。
对于不同的两个圆$A$、$B$，如果可以从$A$到$B$经过不超过$K$次边界，那么称$A$、$B$是联通的。注意，如果一个圆$A$里面内含了圆$B$，而且没有内含其它内含$B$的圆（如下图），则这两个圆之间经过了$1$个边界。
现在的问题是，对于所有的联通的一对圆$(A,B)$，权值差的绝对值最大是多少？

有$T$组数据。
$1\le T\le10,2\le n\le50000,2\le K\le100,0\lt r_i\leq2\times10^8,-10^9\leq x_i,y_i,v_i\leq10^9$

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题目分析

显然圆与圆之间的包含关系构成了一棵树（严格意义上是一个森林，但是为了方便我们在外面加上一个很大的圆，让它变成树即可），联通的定义其实就是树上距离小于等于$K$。如果我们得到了这棵树，在树上求答案是很简单的事情，可以使用点分治。当然这题里面$K$很小，我们可以直接dp，用$f_{i,j}$表示距离点$i$不超过$j$的最大/小点权，这个直接$\mathrm O(nK)$就可以计算。
那么我们怎么处理出这一棵树呢？参考[POJ2932]Coneology的做法，我们使用扫描线，找出对于每一个圆，最小的包含它的圆。
所有扫描线由圆的两条垂直于$x$轴的切线（$x=x_i-r_i$与$x=x_i+r_i$组成）。我们从左到右扫描，对于所有跨过了这一条扫描线的圆，考虑维护它们与当前扫描线交点构成的区间，这些区间互相之间显然也是只可能相离或包含。
假设我们扫描到一个圆的左端的线，那么就意味着我们新加入了一个圆。这个圆在扫描线上的区间显然是一个点。那么我们可以发现，对于这个点上面的第一个区间端点（可能是上端点可能是下端点）所对应的圆，要么其就是包含当前圆的最小圆，要么包含它的最小圆就是包含当前圆的最小圆，这个判断一下就好了。
如果扫描到右扫描线，那就删除当前圆在扫描线上的区间。
现在问题来了，这些端点的具体纵坐标是会随着扫描线的一定而变化的，每次求具体值都要重新计算，我们怎么维护扫描线上若干区间端点呢？注意到除非发生了加入和删除操作，其所有端点的相对位置都是没有变化的。因此我们只需要每次插入/删除时按照当前扫描线的计算结果来就好了。至于使用什么数据结构来维护扫描线上的区间呢？显然用set打平衡树就行了。
总的时间复杂度$\mathrm O(n\log n+nK)$。

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代码实现

第一次打set内的cmp，好复杂……

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <set>

using namespace std;

typedef double db;

const int N=50050;
const int E=N<<1;
const int K=105;

struct P
{
    db x,y;

    P(db x_=0,db y_=0){x=x_,y=y_;}
};

db sqr(db x){return x*x;}
db dist(P p,P q){return sqrt(sqr(p.x-q.x)+sqr(p.y-q.y));}

struct C
{
    int v;
    P O;
    db r;
}cir[N];

bool contain(C a,C b){return dist(a.O,b.O)+b.r<a.r;}

int lx;

P getp(C c,db x0,bool sign)
{
    db l=sqrt(sqr(c.O.x-x0)+sqr(c.r));
    return P(x0,c.O.y+(sign?1:-1)*l);
}

struct L
{
    int id;
    db x;
}line[N<<1];
int ltot;

bool operator<(L a,L b){return a.x<b.x;}

struct cmp{bool operator()(const int &a,const int &b)const{return getp(cir[a+1>>1],lx,a&1).y>getp(cir[b+1>>1],lx,b&1).y;}};

int fa[N],nxt[E],last[N],tov[E];
int f[2][N],g[2][N];
int ans,n,T,k,tot;
int mi,mx;
bool vis[N];
set<int,cmp> t;

void insert(int x,int y){tov[++tot]=y,nxt[tot]=last[x],last[x]=tot;}

void build()
{
    for (;tot;tot--) nxt[tot]=tov[tot]=0;
    for (int i=0;i<=n;i++) last[i]=0;
    ltot=0;
    for (int i=1;i<=n;i++)
    {
        line[++ltot].id=i*2-1,line[ltot].x=cir[i].O.x-cir[i].r;
        line[++ltot].id=i*2,line[ltot].x=cir[i].O.x+cir[i].r;
    }
    sort(line+1,line+1+ltot);
    t.clear();
    for (int i=1,id;i<=ltot;i++)
    {
        lx=line[i].x,id=line[i].id+1>>1;
        if (line[i].id&1)
        {
            fa[id]=0;
            t.insert(id*2-1);
            set<int,cmp>::iterator it=t.find(id*2-1);
            if (it!=t.begin())
            {
                --it;
                if (contain(cir[(*it)+1>>1],cir[id])) fa[id]=(*it+1)>>1;
                else fa[id]=fa[(*it+1)>>1];
            }
            t.insert(id*2);
        }
        else t.erase(id*2-1),t.erase(id*2);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) insert(fa[i],i),insert(i,fa[i]);
}

void calc()
{
    ans=0;
    for (int i=1;i<=n;i++) f[0][i]=g[0][i]=cir[i].v;
    f[0][0]=1000000070,g[0][0]=-1000000070;
    for (int k_=1;k_<=k;k_++)
    {
        int p=k_&1,q=p^1;
        for (int i=0;i<=n;i++) f[p][i]=f[q][i],g[p][i]=g[q][i];
        for (int x=0;x<=n;x++)
            for (int i=last[x],y;i;i=nxt[i])
                f[p][x]=min(f[p][x],f[q][y=tov[i]]),g[p][x]=max(g[p][x],g[q][y]);
    }
    for (int i=1;i<=n;i++) ans=max(ans,max(cir[i].v-f[k&1][i],g[k&1][i]-cir[i].v));
}

int main()
{
    freopen("circle.in","r",stdin),freopen("circle.out","w",stdout);
    int cnt=0;
    for (scanf("%d",&T);T--;)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%lf%lf%lf%d",&cir[i].O.x,&cir[i].O.y,&cir[i].r,&cir[i].v);
        build(),calc();
        printf("Case %d: %d\n",++cnt,ans);
    }
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}