[JZOJ4830]分组

题目大意

有$n$个数$s_i$，要求将其分成若干组，使得每组内数的极差（最大值减去最小值）之和小于等于$K$。求方案总数模$10^9+7$的结果。
两种分组方案不同当且仅当存在两个数在其中一种方案中在同组，另一种方案中在不同组。

$1\le n\le200,0\le K\le1000,1\le s_i\le500$

---

题目分析

30分算法

先来看看这题的部分分：$\sum s_i\le1000$
将所有数从小到大排序，令$f_{i,j,k}$表示考虑到第$i$个数，目前有$j$个组是还要填数的，极差之和为$k$的方案数。转移分为以下四种情况讨论：

1. 当前位置单独成组
2. 当前位置填入某一组，但不作为最大值
3. 当前位置新建一个组，作为最小值（极差和减去$s_i$）
   • 当前位置填入某一组，并且作为最大值（极差和加上$s_i$）

   • 最后的答案是$\sum_{k=0}^Kf_{n,0,k}$。当然从大到小排序$k$恒为正数会更方便，这里只是为了和下文顺序保持一致才从小到大排。
     这样计算时间复杂度是$\mathrm O(n^2\sum s_i)$的。

     100分算法

     考虑优化30分算法。
     使用差分的思想，令$d_i=s_i-s_{i-1}$，可以发现$s_i-s_j$变为$\sum_{k=j+1}^iw_k$。
     这样的话，我们每个位置对答案的贡献显然可以写成$w_i\times j$，即对每一组都有$w_i$的贡献。转移的话依然是分四种情况讨论，很简单的就不细讲了。
     注意到如果我们从小到大做，那么极差和是不减的，于是第三位只用开到$K$即可。
     时间复杂度减少为$\mathrm O(n^2k)$。注意使用滚动数组压缩空间。

     ---

     代码实现

     #include <algorithm>
     #include <iostream>
     #include <cstring>
     #include <cstdio>
     
     using namespace std;
     
     const int P=1000000007;
     const int N=205;
     const int K=1005;
     
     int f[2][N][K];
     int n,k0,ans;
     int s[N];
     
     void solve()
     {
         sort(s+1,s+1+n);
         f[1][0][0]=f[1][1][0]=1;
         for (int i=1,x,y,tmp;i<n;i++)
         {
             x=i&1,y=x^1;
             memset(f[y],0,sizeof f[y]);
             for (int j=0;j<=i;j++)
                 for (int k=0;k<=k0;k++)
                     if (f[x][j][k]&&(tmp=k+(s[i+1]-s[i])*j)<=k0)
                     {
                         (f[y][j+1][tmp]+=f[x][j][k])%=P;
                         if (j) (f[y][j-1][tmp]+=1ll*f[x][j][k]*j%P)%=P,(f[y][j][tmp]+=1ll*f[x][j][k]*j%P)%=P;
                         (f[y][j][tmp]+=f[x][j][k])%=P;
                     }
         }
         ans=0;
         for (int k=0;k<=k0;k++) (ans+=f[n&1][0][k])%=P;
     }
     
     int main()
     {
         freopen("group.in","r",stdin),freopen("group.out","w",stdout);
         scanf("%d%d",&n,&k0);
         for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]);
         solve();
         printf("%d\n",ans);
         fclose(stdin),fclose(stdout);
         return 0;
     }