【GDOI2017模拟10.30】分组

最新推荐文章于 2020-08-23 13:53:47 发布

WorldWide_D

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分类专栏： DP

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本文介绍了一种基于动态规划的算法，用于解决将给定数值分组的问题，确保各组极差不超过指定值k。通过优化状态表示和转移方程，实现了高效的解决方案。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定n个数和一个k，要给这n个数分成若干组，满足 $\sum$ 每组元素的极差不大于k。求方案数模 $10^9+7$ 的值。

数据范围

n≤200 k≤1000 si≤500

分析

对于一个组，我们只关心它的最大、最小值。可以先给n个数降序排序，设f[i][j][k]表示前i大的数，现在有j组还没确定最小值（此时最小值视为0），极差和为k，列出DP方程：
$f[i][j][k]=f[i-1][j][k](表示第i个数单独一组)+f[i-1][j][k]*j(第i个数放在其中一组，不是最小值)+f[i-1][j-1][k-s[i]](新开一组)+f[i-1][j+1][k+s[i]]*(j+1)(第i个数作为最小值放在其中一组)$

作差思想

第三维状态显然很大，需要优化。
令c[i]=s[i]-s[i-1]，那么一个组原本的极差为s[i]-s[j]，现在变成了 $\sum c[i]$
再看看转移：
$f[i][j][k]=f[i-1][j][k-c[i]*j]+f[i-1][j][k-c[i]*j]*j+f[i-1][j-1][k-c[i]*j]+f[i-1][j+1][k-c[i]*j]*(j+1)$
这样就可以把第三维设成0——k的了。
为了省空间要打滚动数组。

#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>

using namespace std;

const int N=205,M=1005,mo=1e9+7;

typedef long long LL;

int n,m,s[N],f[2][N][M],p,q,a[N],ans;

bool cmp(int x,int y)
{
    return x>y;
}

int main()
{
    freopen("group.in","r",stdin); freopen("group.out","w",stdout);
    scanf("%d%d",&n,&m);
    for (int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&s[i]);
    sort(s+1,s+n+1,cmp);
    for (int i=2;i<=n;i++) a[i]=s[i-1]-s[i]; a[1]=0;
    p=0; q=1; f[0][0][0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++,p^=1,q^=1)
    {
        memset(f[q],0,sizeof(f[q]));
        for (int j=0;j<i;j++)
        {
            for (int k=a[i]*j;k<=m;k++)
            {
                f[q][j][k]=(f[q][j][k]+(LL)f[p][j][k-a[i]*j]*(j+1))%mo;
                f[q][j+1][k]=(f[q][j+1][k]+f[p][j][k-a[i]*j])%mo;
                if (j>0) f[q][j-1][k]=(f[q][j-1][k]+(LL)f[p][j][k-a[i]*j]*j)%mo;
            }
        }
    }
    ans=0;
    for (int i=0;i<=m;i++) ans=(ans+f[p][0][i])%mo;
    printf("%d\n",ans);
    fclose(stdin); fclose(stdout);
    return 0;
}