[JZOJ4800]周末晚会

题目大意

$n$个人围绕着圆桌坐着，其中一些是男孩，另一些是女孩。你的任务是找出所有合法的方案数，使得不超过$k$个女孩座位是连续的。
循环同构会被认为是同一种方案。
一个测试点$T$个数据。

$1\le n,k\le2000,1\le T\le20$

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题目分析

处理如循环同构的等价类计数问题，$\mathrm{Burnside's}$引理无疑是一个强有力的方法。

• $\mathrm{Burnside's}$引理
• $n=\frac{\sum_{g\in G}C(g)}{|G|}$，其中，$G$是在一个目标集上的置换群，$C(g)$表示目标集在置换$g$的作用下的不动点个数。

没有学过$\mathrm{Burnside's}$引理的读者可能会觉得这个很抽象，而且引理本身的证明需要较多的群论知识，我自己也不会，如果有兴趣可以看看这篇博文或者去查阅其它相关资料。
如何统计不动点呢？参考[SDOI2013]项链一题，我们考虑旋转$i$位$(0\le i\lt n)$，将整个数组变成$\gcd(i,n)$个相邻的互不影响的部分。将性别看成颜色，那么同部分必须同色，这就是一个不动点。考察一个不动点是否合法，我们只需要考察前$\gcd(i,n)$个位置是否满足不存在大于$k$的相邻$1$（定义$1$为女性），注意头尾相接也不可以有。
这个怎么求呢？我们先不考虑头尾相接的情况，令$f_i$表示长度为$i$的$0/1$串，不存在相邻$k$个以上$1$的方案数。使用总情况（在前面的合法串基础上填$0/1$）减去不合法（由于前面串一定合法，因此不合法一定是最后面出现了$k+1$个$1$，同时我们还要在这些$1$前面放一个$0$来限制它，因此是$f_{i-k-2}$）情况得到：

$$f_i=2f_{i-1}-f_{i-k-2}$$
注意当$f_{-1}$要设置为$1$，原因就是一些简单的边界情况，读者自行思考吧。这个你不怕内存位置出错可以像Werkeytom_FTD一样作死直接设置，但最好还是特判一下。后面的计算也会有用到$f_{-1}$的情况，就不再累赘。
计算出这个以后，我们就要加上两端相连的情况了。枚举右端的连续$1$的个数$r(1\le r\le k)$，那么左端连续$1$的个数$l$至少为$k+1-r$，最多为$k$，为了方便后面的计算，我们不枚举$l$，枚举$l$相对与$l$的下界的增量$\Delta l(0\le\Delta l\lt r)$。为了保证其余位置不与头尾的$1$相接，我们依然在头尾$1$的靠内一端放一个$0$来限制，因此得到不合法情况总数：
$$\sum_{r=1}^k\sum_{\Delta l=0}^{r-1}f_{d-k-\Delta l-3}$$
可以发现后面一个求和可以预处理前缀和来解决。
这样就完了？当然不是，我们来考虑一些特殊情况：

1. $n\le k$，这个时候前$\gcd(i,n)$个位置填什么都可以，因此贡献应当是$2^{\gcd(i,n)}$。
2. $\gcd(i,n)\le k\lt n$，这个时候全部填$1$相对于$\gcd(i,n)$的长度是合法的，但是相对于整个序列是不合法的，因此贡献要减$1$。
3. 其余情况正常处理。

总而言之，细节还是挺多的。需要思路清晰才能切出来。
时间复杂度$\mathrm O(n+Tn^2)$。Werkeytom_FTD貌似使用了一些奇技淫巧特殊的预处理技巧，程序跑得飞快。

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代码实现

#include <algorithm>
#include <iostream>
#include <cstdio>

using namespace std;

const int P=100000007;
const int N=2000;

int f[N+50],sum[N];
int R,ans,T,n,k;

int gcd(int x,int y){return !y?x:gcd(y,x%y);}

int quick_power(int x,int y)
{
    int ret=1;
    for (;y;y>>=1,x=1ll*x*x%P) if (y&1) ret=1ll*ret*x%P;
    return ret;
}

void pre()
{
    f[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) f[i]=((f[i-1]<<1)-(i-k-2>=0?f[i-k-2]:(!(i-k-1)?1:0))+P)%P;
    sum[0]=1;
    for (int i=1;i<=n;i++) sum[i]=(sum[i-1]+f[i])%P;
}

int g(int d,int r)
{
    int ret=((d-k-3>=0?sum[d-k-3]:0)-(d-k-r-2>=0?sum[d-k-r-3]:0)+P)%P;
    if (d-k>=2&&d-k-2<r) (ret+=1)%=P;
    return ret;
}

int calc(int d)
{
    if (k>=n) return quick_power(2,d);
    int ret=0;
    for (int r=1;r<=k;r++) (ret+=g(d,r))%=P;
    ret=(f[d]-ret+P)%P;
    if (k>=d) (ret+=P-1)%=P;
    return ret;
}

void solve()
{
    ans=0;
    for (int l=0;l<n;l++) (ans+=calc(gcd(l,n)))%=P;
    R=quick_power(n,P-2),ans=1ll*ans*R%P;
}

int main()
{
    freopen("party.in","r",stdin),freopen("party.out","w",stdout);
    for (scanf("%d",&T);T--;)
    {
        scanf("%d%d",&n,&k);
        pre(),solve();
        printf("%d\n",ans);
    }
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}