[51NOD1816]小C的二分图

最新推荐文章于 2025-02-17 08:41:32 发布

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#OI #51NOD #splay #dp #二分图

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本文介绍了一种求解二分图最大匹配问题的高效算法。通过动态维护一棵伸展树(splay tree)，实现了对匹配边的管理和更新，确保所有匹配边不相交。适用于大规模数据集，最大支持3×10^5个节点。

摘要生成于 C知道，由 DeepSeek-R1 满血版支持，前往体验 >

题目大意

给定一个二分图，两边各有 $n$ 个点。左边第 $i$ 个点连接了右边第 $l_i$ 到 $r_i$ 个点。
你需要找一个满足所有匹配边不相交的最大匹配。

$1\le n\le3\times10^5$

题目分析

考虑依次加入左边的点，令 $f_i$ 表示在所有匹配数为 $i$ 的合法方案中，最后一个右边的点的编号最小值。显然（如果不考虑没有方案的 $i$ 的话） $f_i$ 是严格单调递增的。
对于所有 $f_i\in[l,r)$ 转移是用 $f_i+1$ 来更新 $f_{i+1}$ ，对于最大的满足 $f_i<l$ 的 $i$ ，转移是 $f_{i+1}=l$ 。可以发现这个用splay来维护就是一些加点删点和区间加的操作。最后输出splay的 $size-1$ 就好了。

代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <stack>

using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=ch=='0'?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const int N=300050;

int n;

struct SPLAY
{
    int son[N][2],size[N],fa[N],f[N],tag[N],mi[N];
    stack<int> st;
    int tot,root;

    bool side(int x){return son[fa[x]][1]==x;}

    void update(int x){size[x]=size[son[x][0]]+size[son[x][1]]+1,mi[x]=min(f[x],min(mi[son[x][0]],mi[son[x][1]]));}

    void rotate(int x)
    {
        int y=fa[x];bool s=side(x);
        if (fa[y]) son[fa[y]][side(y)]=x;
        if (son[x][s^1]) fa[son[x][s^1]]=y;
        son[y][s]=son[x][s^1],son[x][s^1]=y;
        fa[x]=fa[y],fa[y]=x;
        update(y),update(x);
    }

    void ADD(int x,int y){f[x]+=y,mi[x]+=y,tag[x]+=y;}

    void clear(int x)
    {
        if (tag[x])
        {
            if (son[x][0]) ADD(son[x][0],tag[x]);
            if (son[x][1]) ADD(son[x][1],tag[x]);
            tag[x]=0;
        }
    }

    void pushdown(int x,int y)
    {
        for (;x!=y;st.push(x),x=fa[x]);
        for (;!st.empty();clear(st.top()),st.pop());
    }

    void splay(int x,int y)
    {
        for (pushdown(x,y);fa[x]!=y;rotate(x))
            if (fa[fa[x]]!=y)
                if (side(x)==side(fa[x])) rotate(fa[x]);
                else rotate(x);
    }

    int search(int x,int y)
    {
        clear(x);
        if (mi[son[x][1]]<=y) return search(son[x][1],y);
        return f[x]<=y?x:search(son[x][0],y);
    }

    int leftward(int x){return clear(x),son[x][0]?leftward(son[x][0]):x;}

    int kth(int x,int y)
    {
        clear(x);
        if (size[son[x][0]]+1==y) return x;
        return size[son[x][0]]>=y?kth(son[x][0],y):kth(son[x][1],y-size[son[x][0]]-1);
    }

    void merge(int x,int y,int &rt)
    {
        if (!x) rt=y;
        else if (!y) rt=x;
        else splay(rt=kth(x,size[x]),0),update(fa[son[rt][1]=y]=rt);
    }

    /*
    void split(int x,int y,int &l,int &r)
    {
        if (!y) l=0,r=x;
        else splay(l=kth(x,size[x]),0),fa[r=son[l][1]]=0,son[l][1]=0,update(l);
    }
    */

    void modify(int l,int r)
    {
        int x,y,z;
        splay(y=search(root,r-1),0),root=y,splay(x=search(root,l-1),0),root=x;
        if (x!=y)
        {
            splay(y,x);
            if (z=son[y][1]) fa[z]=son[y][1]=0,update(y);
            fa[y]=son[x][1]=0,f[++tot]=l,update(son[fa[tot]=x][1]=tot),update(x);
            ADD(y,1),merge(y,z,z),merge(x,z,root);
        }
        else
        {
            if (z=son[x][1]) fa[z]=son[x][1]=0,update(x);
            f[++tot]=l,update(son[fa[tot]=x][1]=tot),update(x);
            merge(x,z,root);
        }
        y=x==y?tot:y,splay(y,0),root=y;
        if (son[y][1])
        {
            splay(x=leftward(son[y][1]),0),y=son[x][0],z=son[x][1];
            fa[y]=son[x][0]=0,fa[z]=son[x][1]=0,merge(y,z,root);
        }
    }

    void init(){mi[0]=n+1,f[root=tot=1]=0,size[tot]=1;}
}t;

int main()
{
    freopen("bipartite.in","r",stdin),freopen("bipartite.out","w",stdout);
    n=read(),t.init();
    for (int i=1,l,r;i<=n;++i) l=read(),r=read(),t.modify(l,r);
    printf("%d\n",t.size[t.root]-1);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}