[BestCoder Round #88]Tree Cutting

题目大意

给定一棵$n$个节点的树，每个点有权值$v_i$。‘
定义一棵树的权值为所有点权异或和。
现在对于$[0,m)$的所有整数$k$，请统计出这棵树有多少个联通子树的权值为$k$。
联通子树：树的一个联通子图（显然它也是一棵树）
一个测试点$T$组数据。

$1\le T\le10,1\le n\le10^3,1\le m\le2^{10},v_i\in[0,m)$
保证$m$是$2$的非负整数幂。

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题目分析

Solution 1

考虑如果我们确定某个点是一定要选取的，那么我们将其作为根。
那么树中一个点如果选了，它的父亲一定要被选取。
这个树形依赖关系是不是特别熟悉？对了，就是和[JSOI2016]最佳团队类似的模型。
按照$\mathrm{DFS}$序$dp$，使用$f_{i,j}$表示$i$一定要选，异或和为$j$的方案数。那么可以分两种选和不选两种情况考虑转移，和上面说的那题是一样的，很简单就不细讲了。
但是一次$dp$是$\mathrm O(nm)$的，难道我们要做$n$次？而且这样还会有重点。
可以发现一个点如果考虑过，那么就可以将问题分配到它的几个子树来分治了。这个就是经典的点分治，每次选取重心$dp$即可。
时间复杂度$\mathrm O(nm\log_2n)$。
很不错的一个思想。

Solution 2

把$1$作为树根，然后每个联通子树肯定有且仅有一个最高点。
设$f_{x,i}$表示$x$设为最高点，异或和为$i$的方案数。可以列出$dp$方程：

$$f_{x,i}+=\sum_{j\oplus k}f_{x,j}f_{y,k}$$
这是标准的异或卷积形式，可以使用 $\mathrm{FWT}$在 $m\log_2m$时间内计算出来。
我们会计算 $\mathrm O(n)$次（边数） $\mathrm{FWT}$，总时间复杂度 $\mathrm O(nm\log_2m)$。
这个方法比较显然，但是像我这样的不会 $\mathrm{FWT}$的人在比赛时虽然是想出来了也无能为力。