[WorldWide_D幻想乡♂模拟赛][JZOJ4599]西行妖

Preface

今天射电磷（$P^{5+}+5e$）的模拟赛把大家都虐了~
最后一题个人认为质量很吼，就在这里记录一下。

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题目大意

一棵$1$为根的树$n$个节点，你最多可以选择$S$个叶子节点，然后将它们到根节点路径染黑。求有多少种方案能染黑至少$m$个节点。
$1\le m\le n\le 1000,1\le S\le 20$

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题目分析

Algorithm 1

最暴力的$dp$就是设$f_{i,j,k}$表示以$i$为根，选择了$j$个叶子，染黑了$k$个节点的方案数，转移子树合并乱搞一下即可。
然后Samjia直接使用启发式合并优化了这个算法，合并子树时使用类似合并果子的算法，用一个堆维护合并代价最小的两个块合并，时间复杂度应该是可以证明的。

Algorithm 2

以下是WorldWide_D标解。
令$f_{i,j,k}$表示统计到第$i$个叶子节点，已经选择了$j$个叶子，染黑了$k$个节点的方案数。
转移方程显然：

$$f_{i,j,k}=\sum f_{i^{'},j-1,k-(high(i)-high(lca(i,i^{'})))}$$
时间复杂度$\mathrm O(n^3s)$。
比赛时我打了这个并且在实现时使用$\mathrm{dfs}$，然而如果注意到$\mathrm{dfs}$序的性质，可以将其优化。
$\forall\mathrm{DFN}(i^{'})<\mathrm{DFN}(i)$，显然$high(lca(i^{'},i))$随着$\mathrm {DFN}(i)$的增大而不上升。
设当前节点为$i$，我们令
$$s_{j,k,d}=\sum_{lca(i^{'},i)=d}f_{i^{'},j,k}$$
再令

$$cnt_{j,k-d}=\sum s_{j,k,d}$$
显然对于一个叶子节点$f_{i,j,k}=cnt_{j-1,k-high(i)}$，然后更新$s_{j,k,high(i)}$以及$cnt$。
然后当退出一棵子树时，我们的$i$对原本子树中的点取$lca$深度肯定会加$1$，因此令原本子树根节点深度为$d$，我们要将$s_{j,k,d}$的值加到$s_{j,k,d-1}$里面，然后清空$s_{j,k,d}$，同时更新$cnt$数组。
具体细节比较多，可能会有些抽象，希望读者自行思考。
时间复杂度$\mathrm O(n^2s)$。

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代码实现

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cmath>

using namespace std;

int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    while (!isdigit(ch)) f=ch=='-'?-1:f,ch=getchar();
    while (isdigit(ch)) x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
    return x*f;
}

const int P=1000000007;
const int N=1005;
const int E=N<<1;
const int S=22;

int fa[N],high[N],last[N],next[E],tov[E],d[N],p[N],pos[N];
int f[N][S][N],cnt[S][N],sum[S][N][N];
bool vis[N];
int n,m,s,tot,l,ans;

void insert(int x,int y){tov[++tot]=y,next[tot]=last[x],last[x]=tot;}

void dfs(int x)
{
    for (int i=last[x],y;i;i=next[i])
        high[y=tov[i]]=high[x]+1,d[x]++,dfs(y);
}

void dp(int x)
{
    if (!d[x])
    {
        p[++l]=x;
        f[l][1][high[x]]=1;
        for (int j=1;j<=s;j++)
            for (int k=1;k<=n;k++)
                if (k-high[x]>=0)
                    (f[l][j][k]+=cnt[j-1][k-high[x]])%=P;
        for (int j=1;j<=s;j++)
            for (int k=1;k<=n;k++)
            {
                if (!f[l][j][k]) continue;
                (sum[j][k][high[x]]+=f[l][j][k])%=P;
                if (k-high[x]>=0) (cnt[j][k-high[x]]+=f[l][j][k])%=P;
            }
    }
    else for (int i=last[x],y;i;i=next[i]) dp(y=tov[i]);
    if (x==1) return;
    for (int j=1;j<=s;j++)
        for (int k=1;k<=n;k++)
        {
            if (!sum[j][k][high[x]]) continue;
            if (k-high[x]>=0) (((cnt[j][k-high[x]]-=sum[j][k][high[x]])%=P)+=P)%=P;
            (sum[j][k][high[x]-1]+=sum[j][k][high[x]])%=P;
            if (k-high[x]+1>=0) (cnt[j][k-high[x]+1]+=sum[j][k][high[x]])%=P;
            sum[j][k][high[x]]=0;
        }
}

int main()
{
    freopen("tree.in","r",stdin),freopen("tree.out","w",stdout);
    n=read(),m=read(),s=read();
    for (int i=2;i<=n;i++) fa[i]=read(),insert(fa[i],i);
    high[1]=1,dfs(1);
    l=0,dp(1),ans=0;
    for (int i=1;i<=l;i++)
        for (int j=1;j<=s;j++)
            for (int k=m;k<=n;k++)
                (ans+=f[i][j][k])%=P;
    printf("%d\n",ans);
    fclose(stdin),fclose(stdout);
    return 0;
}